所圍三角形個數
平面上凸n邊行之對角線沒有三線共點者,則由此凸n邊行之邊與對角線所圍出三角形個數=C(n,3)+[color=red]4[/color]C(n,4)+[color=red]5[/color]C(n,5)+C(n,6)
其中C(n,m)表示從n個相異物中取m個
此等式中第2,3項之係數分別為[color=red]4,5[/color],線上各位老師是否有人知道呢?!
又此等式又該如何解釋呢?
111.4.19補充
任給一凸八邊形，試問其各邊及對角線最多可交出多少個三角形？
(建中通訊解題第126期，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37) 已知平面上凸 n 邊形之對角線沒有三線共點者
由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形可以分成下列幾種情況：
case i: 三角形的三頂點都在原來的 n 個頂點中，
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取三個頂點連接之後，
即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 1×C(n, 3)
case ii: 三角形的兩個頂點在原來的 n 個頂點中，一個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取四個頂點連接之後，
即會造成四個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 4×C(n, 4)
case iii: 三角形的一個頂點在原來的 n 個頂點中，兩個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取五個頂點連接之後，
即會造成五個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 5×C(n, 5)
case iv: 三角形的三個頂點都落在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取六個頂點連接之後，
即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 1×C(n, 6)
所以，由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形個數
= 1×C(n,3)+4×C(n,4)+5×C(n,5)+1×C(n,6) 那為什麼不繼續討論C(n,7)呢?! 因為所求的三角形的三個頂點只有這四種可能性呀，
而以凸 n 邊形的頂點去取三角形、四邊形、五邊形、六邊形
就是產生這四種情況的最小單位呀。 :-) 請問第三種情況,怎麼產生5種情況呢?
我只找到三個
這三個是內被兩點與其餘三點所構成
另兩點與這內部兩點構成一直線
謝謝 case iii 的圖：
[align=center][img]http://i.imgur.com/1KNMp.jpg[/img]
[/align] 謝謝
我只畫一條線而已,所以.....嗨 謝謝老師,以上講的好仔細!感恩!
老師,因我解以下相關類題,看不懂!請老師指點!
凸n邊形的頂點，共可連出 C(n 3) 個△→這我知道了!
問:
(1).恰共用一個邊的有幾個△
(2).恰共用兩個邊的有幾個△
(3).完全不共邊的有幾個△
老師,請問(1).(2).(3)用排容做嗎?思路應是如何?我怎就解不出來呀!解不完整!
[[i] 本帖最後由 alexchow 於 2024-10-25 07:55 編輯 [/i]] (1) 恰共用一個邊：先選擇這一個邊有 \(n\) 種，再由剩下可以選的 \(n-4\) 個頂點擇一與這個邊連接，共有 \(n(n-4)\) 種選擇。
[attach]7264[/attach]
(2) 恰共用兩個邊：先選擇這兩個共用邊有 \(n\) 種，然後就唯一決定該三角形了。
[attach]7265[/attach]
(3) 完全不共用邊： \(C(n,3) - n(n-4) - n\) 種。 謝謝老師!
懂了!好簡潔有力呀!
因第一次看到這種題目,用環形(頭尾)、排容等總覺得怪怪的!
原來是我不懂題意,那「完全不共用邊」,借老師圖(改)應該是如下:
[attach]7266[/attach]
謝謝老師!
[[i] 本帖最後由 alexchow 於 2024-10-26 09:32 編輯 [/i]]
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