所圍三角形個數
平面上凸n邊行之對角線沒有三線共點者,則由此凸n邊行之邊與對角線所圍出三角形個數=C(n,3)+[color=red]4[/color]C(n,4)+[color=red]5[/color]C(n,5)+C(n,6)
其中C(n,m)表示從n個相異物中取m個
此等式中第2,3項之係數分別為[color=red]4,5[/color],線上各位老師是否有人知道呢?!
又此等式又該如何解釋呢?
111.4.19補充
任給一凸八邊形，試問其各邊及對角線最多可交出多少個三角形？
(建中通訊解題第126期，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37) 已知平面上凸 n 邊形之對角線沒有三線共點者
由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形可以分成下列幾種情況：
case i: 三角形的三頂點都在原來的 n 個頂點中，
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取三個頂點連接之後，
即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 1×C(n, 3)
case ii: 三角形的兩個頂點在原來的 n 個頂點中，一個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取四個頂點連接之後，
即會造成四個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 4×C(n, 4)
case iii: 三角形的一個頂點在原來的 n 個頂點中，兩個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取五個頂點連接之後，
即會造成五個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 5×C(n, 5)
case iv: 三角形的三個頂點都落在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取六個頂點連接之後，
即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）
所以此種情形有 1×C(n, 6)
所以，由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形個數
= 1×C(n,3)+4×C(n,4)+5×C(n,5)+1×C(n,6) 那為什麼不繼續討論C(n,7)呢?! 因為所求的三角形的三個頂點只有這四種可能性呀，
而以凸 n 邊形的頂點去取三角形、四邊形、五邊形、六邊形
就是產生這四種情況的最小單位呀。 :-) 請問第三種情況,怎麼產生5種情況呢?
我只找到三個
這三個是內被兩點與其餘三點所構成
另兩點與這內部兩點構成一直線
謝謝 case iii 的圖：
[align=center][img]http://i.imgur.com/1KNMp.jpg[/img]
[/align] 謝謝
我只畫一條線而已,所以.....嗨
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