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一隻孤雁要經過一片海峽,起飛時要知道怎飛,
起飛後,要想好下一個落腳點在哪裡,
而最重要的是既然飛了,一定要對自己有信心。

chu1976 發表於 2008-10-14 22:10

橢圓動點

若\(P,Q\)為\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上的兩個動點,\(O\)為原點且\(\overline{OP}⊥\overline{OQ}\),試證明\(\displaystyle \frac{1}{\overline{OP}^2}+\frac{1}{\overline{OQ}}^2\)為定值。

109.6.9補充
108竹北高中代理,[url]https://math.pro/db/thread-3164-1-1.html[/url]

weiye 發表於 2008-10-15 09:47

若 OP 與 OQ 的斜率都存在,

令 OP 直線的斜率為 m ,則 OP 方程式為 y=mx

帶入橢圓方程式,分別求出 x^2 與 y^2 (以 a, b, m 表示)

進而可以將 (OP線段)^2 以 a, b, m 表示。



因為線段OP垂直線段OQ,所以可以令 OQ 直線方程式為 y=(-1/m)x,

依然帶入橢圓方程式,可以將 Q 點的 x, y 坐標以 a, b, m 表示,

從而求出 (OQ線段)^2。



再將上述兩式,倒數之後相加,可以求得 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2





若 OP 或 OQ 的斜率不存在,亦即 P, Q 分別在 x, y 軸,或 y, x 軸上,

依然可得 P, Q 兩點為長、短軸上的兩頂點,

故 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2 亦成立。






Note: 若將要求證的式子通分之後,可以發現,題意亦可改成,求證 "橢圓中心點到 PQ 線段的距離為定值",
或是說 "橢圓中心點到 PQ 線段的投影點會在一固定圓上"。

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