完全平方數
n為自然數,A=11...122....25,有n個1,有n+1個2,有1個5,求證A為完全平方數 [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-6-27 08:46 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=890&ptid=586][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]n為自然數,A=11...122....25,有n個1,有n+1個2,有1個5,求證A為完全平方數 [/quote]
９× １１...１２２....２５（有ｎ個１，有ｎ＋１個２，有１個５） ＝ １０...０１０...０２５（前面有 ｎ－１ 個０， 後面有 ｎ 個０）
＝ １０^（２ｎ＋２） ＋ １０^（ｎ＋２） ＋ ２５
＝ { １０^（ｎ＋１） ＋ ５ }^２
因此，
１１...１２２....２５（有ｎ個１，有ｎ＋１個２，有１個５） ＝ { （１０^（ｎ＋１） ＋ ５）／３ }^２，
且因為 １０^（ｎ＋１） ＋ ５≡１^（ｎ＋１）＋５≡０ （mod ３），
所以 （１０^（ｎ＋１） ＋ ５）／３ 是整數，
故，
１１...１２２....２５（有ｎ個１，有ｎ＋１個２，有１個５） 是完全平方數。
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