整數的題目，二元一次不定方程式求解
[quote]1.求直線7x+9y=1上的格子點(x，y)=?[(x，y)為格子點←→x，y均為整數2.承第1題求與原點(0，0)的距離<50之格子點的個數?
3.設a，b，c均為正數且(a+1)(b+1)(c+1)=8，試證:abc≦1[/quote]
解答：
[QUOTE]1.求直線7x+9y=1上的格子點(x，y)=?[(x，y)為格子點←→x，y均為整數[/QUOTE]
先找特殊解（可以用輾轉相除法，尤拉法，秦九韶大衍求一術，或是乾脆用亂試的都可以）
求得一組特殊解為 (x, y) = (4, -3)
所以通解就是 (x, y) = (4+9t, -3-7t) ，其中 t 為任意整數。
[QUOTE]2.承第1題求與原點(0，0)的距離<50之格子點的個數?[/QUOTE]
利用上小題的結果，帶入 x^2+y^2 < 50^2
解 t 的一元二次不等式，找出 t 的範圍，並且從而看出 t 的整數解，
就知道 (x, y) 解的組數了.
[QUOTE]3.設a，b，c均為正數且(a+1)(b+1)(c+1)=8，試證:abc≦1[/QUOTE]
利用算幾不等式，
(a+1)/2 ≧ √a
(b+1)/2 ≧ √b
(c+1)/2 ≧ √c
三者相乘，可得
(a+1)(b+1)(c+1)/8 ≧ √(abc)
把已知條件 (a+1)(b+1)(c+1)=8 帶入上式，可得
1 ≧ √(abc)
兩邊平方可得，
1 ≧ abc
原討論串：[url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=157586]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=157586[/url]
頁:
[1]