橢圓求焦點，求聯立方程式 x^2+y^2=4 且 x+y+z=0 的兩焦點
題目：求聯立方程式 \(x^2+y^2=4\) 且 \(x+y+z=0\) 的兩焦點‧解答：
設與圓柱 \(x^2+y^2=4\) 及平面 \(x+y+z=0\) 同時相切的內切球方程式為
\[ x^2+y^2+(z-t)^2 = 4 \]
由圓心到平面的距離=半徑，
可得
\[ \frac{\left|0+0+t\right|}{\sqrt{3}} = 2, \]
故 \(t = \pm 2 \sqrt{3}.\)
再利用點到面的投影點公式，
求出圓心 \( \left(0, 0, \pm 2 \sqrt{3}\right) \) 在 \(x+y+z=0\) 上的投影點即為兩焦點.
原討論串：h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052 連結已失效
97年國立大里高中教甄題目（數學科）：[url=http://www.scribd.com/doc/3562840/97]http://www.scribd.com/doc/3562840/97[/url]
圓錐曲線焦點座標
請問這題應該如何處理 謝謝圓錐x^2+y^2=z^2 和平面2x+3y=5交一橢圓, 求橢圓的長短軸頂點,焦點座標 交出橢圓？
看起來像是交出雙曲線的樣子？
像是 [url]http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/[/url] 裡面的﹝圖 8-3﹞ 從圖來看 應該是雙曲線 可能是題目出錯了 承上題的類似題，
題目：
圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 和平面 \(2x+3y=5\) 交一雙曲線，求此雙曲線的焦點、貫軸頂點座標
題目改自 jisam 問的 [url=https://math.pro/db/thread-864-1-1.html]https://math.pro/db/thread-864-1-1.html[/url] 此題。
感謝 bugmens 介紹此題目的原始出處h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341 連結已失效
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解答：
設在直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 的內部區域與其相切之圓的圓心為 \((0,0,t)\)，
則畫圖，看出半徑為 \(r=\displaystyle\frac{|t|}{\sqrt{2}}\)，
利用此圓與平面 \(2x+3y=5\) 相切（圓心到平面的距離＝半徑），
得
\[
\frac{|2\times0+3\times0+0\times t-5|}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}}=\frac{t}{\sqrt{2}}
\]
\[\Rightarrow t=\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.
\]
故與直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 及平面 \(2x+3y=5\) 皆相切之圓的圓心為 \(\displaystyle (0,0,\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}})\)，半徑為 \(\displaystyle r=\frac{5}{\sqrt{13}}\)，
再利用點到面的投影點公式，
求出圓心在 \(2x+3y=5\) 上的投影點即為兩焦點 \(F_1, F_2\) 為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\right)\).
而要求貫軸頂點的話，（以下也是畫圖慢慢看出來的）
由 \(F_1, F_2\) 往上、下（向 \(z=0\) 平面靠近）分別移動 \(\displaystyle r\tan 22.5^\circ=\frac{5}{\sqrt{13}}\left(\sqrt{2}-1\right)\)，
即可得貫軸的兩頂點為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5}{\sqrt{13}}\right)\).
參考資料： Dandelin Spheres ─ [url=http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html]http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html[/url] 把題目改成雙曲線之後，變成要問焦點與頂點好了，
這篇做法，類似 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=578]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=578[/url]
所以回覆在上述那篇好了。
另外，
感謝 bugmens 介紹此題目的原始出處h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341 連結已失效
^__^
回復 2# weiye 的帖子
請問tan22.5度是怎麼看出來的？回復 3# casanova 的帖子
因為我不太會畫立體圖，所以畫了如附加檔案的剖面側視圖，
圖中 \(\overline{QF_1}=r\)，可得 \(\overline{A_1F_1}=r\tan22.5^\circ\)
\(A_1\) 點即為其中一個貫軸上的頂點。
（如果您看得懂圖，應該就會知道另一個頂點在哪裡～^__^）
回復 4# weiye 的帖子
謝謝你喔！雖然沒有立體圖形，但這剖面側視圖也很清楚。
另一個貫軸的頂點是，以平面z=0為對稱平面，A1的對稱點對吧？！
回復 5# casanova 的帖子
是滴，沒錯！ ^__^ 我在舊版的101看到類似題，我仿照了做法得到的結果(如附件一)和101的解答不同(如附件二)我有兩個問題
首先，到底哪個答案是對的?或者，我錯在哪邊?
第二，101解答的部分，算式(1)應該是屬於空間中的方程式，它所代表的幾何意義是什麼?
真的可以這樣做嗎?
謝謝各位!
回復 7# best2218 的帖子
題目所求是不一樣的附件一解的是[color=Red]圓錐上[/color]的雙曲線
而附件二解是該曲線對 xy 平面的[color=Red]投影[/color]
[color=White]下次看清楚題目吧[/color] 失言了，抱歉，是我沒仔細看清楚附件一
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-1-14 09:12 PM 編輯 [/i]]
回復 7# best2218 的帖子
你的問題在於:投影之後，焦點會改變。
舉個比較極端的例子:
如果是圓柱，那麼可以被平面截出一個橢圓，但是這個橢圓在與圓柱的軸垂直的平面上的投影是圓，
可以看成焦點都跑到中心去了。
回復 9# 老王 的帖子
謝謝老王老師我想再請問一下，在附件二的 (1)
在空間的坐標系統中，可不可以看成 雙曲線「柱」?
回復 8# tsusy 的帖子
可能是我意思表達不清楚，讓老師誤會了。謝謝老師! [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-1-24 06:42 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4695&ptid=578][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
因為我不太會畫立體圖，
所以畫了如附加檔案的剖面側視圖，
圖中 \(\overline{QF_1}=r\)，可得 \(\overline{A_1F_1}=r\tan22.5^\circ\)
\(A_1\) 點即為其中一個貫軸上的頂點。
（如果您看得懂圖，應該就會知道另一個頂點在 ... [/quote]
請問瑋岳老師, 怎麼算出"圓錐"與"平面"的交角為45度?
謝謝
回復 10# best2218 的帖子
[url]http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicCylinder.html[/url] 請問瑋岳老師兩球心到平面的投影點就是焦點，這個背後的原理是？？ 分享一下小弟的做法，如有錯誤，請指正，感恩
回復 14# peter0210 的帖子
參考資料： Dandelin Spheres ─ [url]http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html[/url][url]https://www.google.com.tw/#q=Dandelin+Spheres+site:math.pro[/url]
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