不等式
已知正數a,A,b,B,c,C,滿足a+A=b+B=c+C=l,證明aB+bC+cA<l^2 [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-6-4 09:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=841&ptid=564][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]已知正數a,A,b,B,c,C,滿足a+A=b+B=c+C=l,證明aB+bC+cA<I^2 [/quote]
作一正三角形以 Ｉ 為三邊，
然後作三邊上的截點，如下圖
[img]https://math.pro/temp/qq69.jpg[/img]
利用在角落的三個小三角形面積和 小於 整個正三角形的面積，即
\(\displaystyle\frac{1}{2} a B \sin 60°+\frac{1}{2} b C \sin 60°+\frac{1}{2} c A \sin 60° ＜\frac{1}{2} I × I × \sin 60°\)
再將不等號兩側同除去 \(\sin 60°\) ，
即得證。
感謝我的同學，楊澤璿老師提供此解法。
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