正切值最小值
三角形ABC中,求(1)(tanA/2)^2+(tanB/2)^2+(tanC/2)^2的最小值(2)(tanA/2)+(tanB/2)+(tanC/2)的最小值 [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-5-27 09:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=820&ptid=557][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]三角形ABC中,求(1)(tanA/2)^2+(tanB/2)^2+(tanC/2)^2的最小值(2)(tanA/2)+(tanB/2)+(tanC/2)的最小值 [/quote]
因為 ０＜A, B, C＜π，所以 tan（A／2）、tan（B／2）、tan（C／2）皆為正數。
(1)
利用柯西不等式，
｛(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2｝
×｛(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2＋(tan（A／2）)^2｝
≧ ｛(tan（A／2）)(tan（B／2）)＋(tan（B／2）)(tan（C／2）)＋(tan（C／2）)(tan（A／2）)｝^2＝1^2
所以，(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2 最小值為 1
(2)
｛(tan（A／2）)＋(tan（B／2）)＋(tan（C／2）)｝^2
＝(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2
＋２｛(tan（A／2）)(tan（B／2）)＋(tan（B／2）)(tan（C／2）)＋(tan（C／2）)(tan（A／2）)｝
≧１＋２＝３
所以，tan（A／2）＋tan（B／2）＋tan（C／2）≧√3
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