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chu1976 發表於 2008-5-26 14:34

求切線形成面積

在R^3中,自P(0,2,4)向球x^2+y^2+(z-1)^2=1做切線,若切線與xy平面焦點所成圖形為S
求(1)S中心點(2)S的面積

weiye 發表於 2008-5-28 18:22

[quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-5-26 02:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=818&ptid=555][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
在R^3中,自P(0,2,4)向球x^2+y^2+(z-1)^2=1做切線,若切線與xy平面焦點所成圖形為S
求(1)S中心點(2)S的面積 [/quote]

所有切線形成的圖形為圓錐,

而 x^2+y^2+(z-1)^2=1 為此圓錐與 xy 平面的內切球,

所以,所有切線與 xy 平面的交點為橢圓(圓錐截痕)。




因為圖形對稱於 x=0 平面,所以先只看 yz 平面的圖形,

可以找出橢圓長軸兩頂點的 (y,z) 座標,

其中點就是橢圓的中心點。


[img]http://img218.imageshack.us/img218/5688/76992726il2.jpg[/img]


利用 Dandelin 定理([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres]http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres[/url] )

可知內切球與 xy 平面的切點,也就是原點 (0, 0, 0),為此橢圓的其中一個焦點,

因此,配合第一小題所求得的中心點,可求得焦距,

再利用半長軸長,可以求得半短軸長,

故,橢圓面積可求。

chu1976 發表於 2008-5-28 20:37

[color=red]內切球與 xy 平面的切點,也就是原點 (0, 0, 0),為此橢圓的其中一個焦點[/color]
不好意思紅色部分我看不懂![color=black][/color]

weiye 發表於 2008-5-28 21:10

[quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-5-28 08:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=823&ptid=555][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
內切球與 xy 平面的切點,也就是原點 (0, 0, 0),為此橢圓的其中一個焦點
不好意思紅色部分我看不懂! [/quote]

那一句話就是 Dandelin 定理([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres#Dandelin.27s_theorem]http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres[/url] )

或是你可以看這裡 [url=http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html]http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html[/url] 的圖,會比較清楚。

圓錐內部的內切球,切到橢圓的那個切點,就是橢圓的其中一個焦點。

chu1976 發表於 2008-6-17 20:32

請問如何找出橢圓長軸兩頂點的 (y,z) 座標呢?
是令切線y=m(z-2)+4代入y^2+(z-1)^2=1
利用D=0求出來的嗎?!

weiye 發表於 2008-6-17 21:59

可以呀,

或是用圓心 (0, 1) 到切線 y=m(z-2)+4 的距離等於半徑 1,
(平面上,點到線的距離公式,)

也可以求得 m。

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