空間平面
\(n\)為自然數,空間中平面\(x+y+z\le n\)
\(-x+y-z\le n\)
\(x-y-z\le n\)
\(-x-y+z\le n\)
內格子點數為\(a_n\),則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^3}=\)? 8/3 ? [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-5-5 12:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=717&ptid=523][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
8/3 ? [/quote]沒錯,請問你是怎麼算的呢?!
如何找出格子點? 我並沒有算出共有多少格子點，
只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)
上面哪個 Big-O 定義： [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation]http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation[/url]
所以改用圖形體積去求，
畫出圖形發現是一個正四面體，
且正四面體當中，互相歪斜的兩個稜距離是 2n，
因此算出正四面體邊長為 (2√2)n，體積為 (8*n^3)/3，
所以，把體積除以 n^3，當 n 區近於無窮大時，其極限值為 8/3.
註： Big-O 是以前我修資料結構跟解析數論這兩門的時候老師提到的，
就是當 n 趨近於無窮大時，該函數的漸近行為，換句話說，就是
格子點的個數 跟 圖形所圍區域的體積的誤差值，至多可以用一個二次以下多項式函數表示。 [img]http://i131.photobucket.com/albums/p294/M9331707/plan.jpg[/img]
[font=Times New Roman]接下來該怎麼做,無從著手,而
我得到的答案是格子點數有sigma[(n-k+1)(n+k-1)+(n-k)(n+k)],as k=1 to n,再加上2n^2+2n+1[/font] [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-5-5 01:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=719&ptid=523][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我並沒有算出共有多少格子點，
只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)
... [/quote]
請問老師 這是如何估計的 謝謝 補上出處
高中數學101 第53單元 空間平面方程 p188
1998日本東京大學 [quote]原帖由 [i]jisam[/i] 於 2009-7-30 04:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=1636&ptid=523][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問老師 這是如何估計的 謝謝 [/quote]
如上面回覆所言，用所圍區域的體積估計之。 不好意思 是我表達錯誤了
"只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)"
怎會知道要用這樣方式 為什麼不是
格子點的個數 = 所圍區域的體積*[color=red]2[/color] +O(n^2)"之類的
而剛剛好是 格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)
謝謝 對於長、寬、高分別是 \(a,b,c\) 的長方體（\(a,b,c\)是正整數），
其體積為 \(abc\)，
其格子點個數為 \((a+1)(b+1)(c+1)=abc+\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right).\)
設 \(a,b,c\) 為 \(n\) 的一次函數，
則 \(abc\) 為 \(n\) 的三次函數，且 \(\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right)=O(n^2).\)
因此， 格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2) . 謝謝瑋岳老師的說明
高中數學101內的一題
很多老師都會念"高中數學101"但舊版裡面有幾題答案是錯的,手上沒新版不知有無修訂
但這題因為小弟不確定自己解法是否OK!? 所以無法斷定其正確性
回復 1# tuhunger 的帖子
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=523[/url] 二年前算過這題，請參考附件時間過得真快啊......
回復 14# thepiano 的帖子
感謝 thepiano 老師算出詳細格子點數目。回復 14# thepiano 的帖子
抱歉S_k 與S_0 是如何得到的，還有為何會變成2sigmaS_k+S_0 [quote]原帖由 [i]larson[/i] 於 2020-9-29 23:42 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=21828&ptid=523][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]抱歉S_k 與S_0 是如何得到的，還有為何會變成2sigmaS_k+S_0 [/quote]
小弟的 doc 檔裡是用 z，不是 k，以下用 z 來說明
附圖是 n = 5，z = 2 的例子
(n + z + 1)(n - z + 1) 是圖中的黑點個數，(n + z)(n - z) 是圖中的紅點個數
故每個矩形的格子點數是 (n + z + 1)(n - z + 1) + (n + z)(n - z)
由於 - n ≦ z ≦ n，z 包含正、負及 0
故一般式就是您看到的那個樣子
回復 17# thepiano 的帖子
感謝！頁:
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