arctan恆等式證明
[img]http://i131.photobucket.com/albums/p294/M9331707/arctan.jpg[/img] [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-5-1 10:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=706&ptid=521][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url][img]http://img177.imageshack.us/img177/896/arctanpq6.jpg[/img] [/quote]
可以仿照這題 [url=https://math.pro/db/thread-27-1-3.html]https://math.pro/db/thread-27-1-3.html[/url] 的方法，
利用其中的 arctan(x) － arctan(y) ＝ arctan{ (x－y)／(1＋xy) }
取 x＝k／(k＋1), y＝(k－1)／k
則， arctan{ k／(k＋1) } － arctan{ (k－1)／k } ＝ arctan{ 1／(2*k^2)}
所以，左式當中的每一項都可以分裂成兩項相減，
再兩兩對消之後，最終可得右式。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-5-1 11:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=707&ptid=521][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以仿照這題 [url=https://math.pro/db/thread-27-1-3.html]https://math.pro/db/thread-27-1-3.html[/url] 的方法，
利用其中的 arctan(x) － arctan(y) ＝ arctan{ (x－y)／(1＋xy) }
取 [color=red]x＝k／(k＋1), y＝(k－1)／k
[/color]
則， arctan{ k／(k＋1) } － arctan{ (k－1)／k } ＝ arctan{ 1／(2*k^2)}
所以 ... [/quote]
請問紅色部分是如何得來的呢?
是否有跡可循呢? 觀察而得，而觀察的過程如下，
利用題目所給的式子，將 n 分別以 k 及 k-1 帶入，
再將所得的兩式相減，即可得
arctan{ 1／(2*k^2)}＝ arctan{ k／(k＋1) } － arctan{ (k－1)／k } ...........（＊）
因此，猜測（＊）會成立，而證明過程如上文。 :-)
其實只要發現（＊），就可以發現，
原命題得的證明改成用數學歸納法也可以。
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