反三角函數
(1)解arc(cosx)>arc(sinx)(2)求S={(x,y)|arc(cosx)>arc(siny)}之面積 [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-4-21 08:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=686&ptid=512][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(1)解arc(cosx)>arc(sinx)[/quote]
令 θ1=arccos(x), θ2=arcsin(x)，
⇒比較 x=cos(θ1) 與 x=sin(θ2) 的圖形，
題目要求 θ1>θ2 (對於相同的 x )，
[img]https://math.pro/temp/qq68a.jpg[/img]
如圖，即可得 -1 <x< (√2)/2
或是圖形對稱於 x=y 直線，應該更明顯
[img]https://math.pro/temp/qq68b.jpg[/img]
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(2)求S={(x,y)|arc(cosx)>arc(siny)}之面積 [/quote] 感謝版主(1)精闢的解答
但是(2)的圖形該怎麼畫出來呢?! α=arccos(x), cos(α)=x, 其中 α 介在 0 到 π 之間，且 －1≦x≦1
β=arcsin(y), sin(β)=y, 其中 β 介在 －π/2 到 π/2 之間，且 －1≦y≦1
若 (x,y) 為第二象限的點，則 arccos(x) 介在 π/2 到 π 之間，
arcsin(y) 介在 0 到 π/2 之間，
所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y) (邊界曲線長不佔面積，所以我沒有考慮等號的情況)
若 (x,y) 為第三象限的點，則 arccos(x) 介在 π/2 到 π 之間，
arcsin(y) 介在 －π/2 到 0 之間，
所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y)
若 (x,y) 為第四象限的點，則 arccos(x) 介在 0 到 π/2 之間，
arcsin(y) 介在 －π/2 到 0 之間，
所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y) (邊界曲線長不佔面積，所以我沒有考慮等號的情況)
若 (x,y) 為第一象限內的點，要求 (x,y) 點座標滿足 α>β ，則
因為 cos(α)=x, sin(β)=y，利用 √{1－x^2}=sin(α)
且利用第一象限的 sin 函數是漸增函數，
所以 α>β ⇒ sin(α)>sin(β) ⇒ √{1－x^2}>y ⇒ 1>x^2＋y^2
在第一象限滿足的座標只有在單位圓內部的點(邊界曲線長不佔面積，所以我沒有考慮等號的情況)。
因此圖形是三個正方形加上一個1/4圓，
面積是＝ 1＋1＋1＋π/4 = 3＋π/4。
(答案有誤的話要跟我說喔~ :-p ) 版主您的答案正確但是您有一個字錯!是指面積而不是體積。 嗯，錯字已修改。 :-)
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