機率的題目，利用遞迴數列求機率的題目
甲乙二人輪流擲一不公正銅板(出現正面機率為2/3,出現反面機率為1/3),若出現正面,甲給乙一元,出現反面,乙給甲一元.金甲有m元,乙有n元(\(m,n\in N\)), 則甲將乙錢贏光之機率為______.[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的? [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-4-12 11:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=652&ptid=497][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的? [/quote]
"輪流丟"，這三個字好像沒有用到？
當甲有 \(k\) 元時，其獲勝機率 \(a_k\) 恰由下列二者組成，
case i. 若擲出反面(機率是 \(\frac{1}{3}\))，則甲變為 \(k+1\) 元，接下來獲勝機率為 \(a_{k+1}\) 。
case ii. 若擲出正面(機率是 \(\frac{2}{3}\))，則甲變為 \(k-1\) 元，接下來獲勝機率為 \(a_{k-1}\) 。
所以 \(a_k=\frac{1}{3}a_{k+1}+\frac{2}{3}a_{k-1}\)
剩下的就用遞迴數列的特徵方程式來解就可以了。
題外話：
這題目應該是跟隨機過程(Stochastic process)裡面醉漢走路的問題一樣，
Google 搜尋"[url=http://www.google.com.tw/search?q=%E9%9A%A8%E6%A9%9F%E9%81%8E%E7%A8%8B+%E9%86%89%E6%BC%A2]隨機過程 醉漢[/url]" 或 "[url=http://www.google.com.tw/search?q=random+walk]Random Walk[/url]" 會有些相關的介紹，
其中 [url=http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/book2/p5/%E6%87%B8%E5%B4%96%E9%82%8A%E7%9A%84%E9%86%89%E6%BC%A2.htm]http://www.stat.nuk.edu.tw/prost ... %86%89%E6%BC%A2.htm[/url] 這篇的說明與解法也蠻不錯的。
另外，台中一中的某次高二學校期末考有考過上面這題( [url=http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf[/url] )，
不過機率改成各 \(\frac{1}{2}\) 而已。
討論串：[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950[/url] 謝謝您的答覆
其實我的問題就是跟您的答案一樣!
覺得遞迴關係式1/3, 2/3 的位置應該是寫反了! 請幫我算算看 , 答案是 a_n=(2^m)*[(2^n)-1] / {[2^(m+n)]-1} 嗎? 這邊原先的遞迴關係應該沒有問題
假設這一局有k元
Case 1. 下一局, 甲贏一元機率為1/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k+1}$$
Case 2. 下一局, 甲輸一元機率為2/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k-1}$$
故遞迴關係應該為 $$a_{k}=\frac 1 3 a_{k+1}+\frac 23 a_{k-1}$$.
之前我跟weiye老師想法是一樣, 後來仔細想過遞迴式原始答案給的應該沒錯.
越看越糊塗
[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-4-13 01:16 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=653&ptid=497][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]"輪流丟"，這三個字好像沒有用到？ ... [/quote]
___________________________________________________________________________________
我原本的想法 P(k)=2/3*P(k-1) + 1/3*P(k+1) .....這兩年來做到這題時都是這樣想
但今天再次看到這個題目,突然感覺是 P(k)=1/3*P(k-1) + 2/3*P(k+1)才對,
但我發現我的想法犯了瑋岳學長之前的錯誤,卻改不回來...
有人能解釋嗎? 我想問的是
為什麼a_0=0,a_m+n=1
想好久了
回復 8# peter0210 的帖子
甲手上 0 元，表示所有的錢都在乙手上，甲輸光了，甲的獲勝機率＝０，甲手上 m+n 元，表示所有的錢都在甲手上，乙輸光了，甲的獲勝機率＝１。
頁:
[1]