三角函數題，利用倍角公式，解三角方程式
3-4cos2x+cos4x=1/2請指導一下怎樣解這條方程 [quote]原帖由 [i]popopoi12345[/i] 於 2008-2-20 10:35 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=569&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
3-4cos2x+cos4x=1/2
請指導一下怎樣解這條方程 [/quote]
令 cos 2x = t ，則
利用餘弦函數的二倍角公式，可知
cos 4x = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1
所以，要解的方程式就變成是 3 - 4 t + ( 2 t^2 -1) = 1/2
先求出 t ，也就是知道 cos 2x 為多少，
然後再看看 2x 可以是多少度（記得要考慮同界角）？
就可以知道 x 為多少度。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-2-20 11:12 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=570&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
令 cos 2x = t ，則
利用餘弦函數的二倍角公式，可知
cos 4x = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1
所以，要解的方程式就變成是 3 - 4 t + ( 2 t^2 -1) = 1/2
先求出 t ，也就是知道 cos 2x 為多少，
然後再看看 2x 可 ... [/quote]
cos (4x) = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1我有少少問題
cos(2x) = 2cos^2 (x) - 1
那cos(6x)=2cos^2 (3x) - 1嗎?
而且想請問一下
如果{cos^2 (x)}{cos^2 (x) - 1}=0
在0-360度之間
x應該什麼值 為什麼 ?
因為我發覺我的觀念有點問題
所以想確認一下 謝謝 [quote]原帖由 [i]popopoi12345[/i] 於 2008-2-24 10:02 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=585&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
cos (4x) = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1我有少少問題
cos(2x) = 2 cos^2 (x) - 1
那cos(6x) = 2 cos^2 (3x) - 1嗎?
[/quote]
由餘弦函數的二倍角公式 (證明在 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=448&page=1#pid549]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=448&page=1#pid549[/url] )
cos 2θ = 2 cos^2 (θ) － 1
把 θ 用 3x 帶入，就可以得到
cos(6x) =2 cos^2 (3x) － 1
[quote]
而且想請問一下
如果{cos^2 (x) }{cos^2 (x) － 1}=0
在0-360度之間
x應該什麼值 為什麼 ?
因為我發覺我的觀念有點問題
所以想確認一下 謝謝 [/quote]
如果{cos^2 (x) }{cos^2 (x) － 1}=0
則 cos^2 (x) =0 或 cos^2 (x) ＝ 1
→ cos(x) = 0, 1, or -1
若要求 x 在0-360度之間，
則 x = 0°, 90°, 180°, 270°, or 360° 想請問一下= =我這樣計有錯嗎?
連結已失效h ttp://student.bshlmc.edu.hk/it-school/homepage/s04110501/IMG_1484.JPG
不知為何和答案多了一兩個角度-.- [quote]原帖由 [i]popopoi12345[/i] 於 2008-2-24 07:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=587&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問一下= =我這樣計有錯嗎?
http://student.bshlmc.edu.hk/it-school/homepage/s04110501/IMG_1484.JPG
不知為何和答案多了一兩個角度-.- [/quote]
第一行是怎樣推論到第二行的呢？
第四行到第五行是如何推論的呢？
第五行之後又是用什麼公式一步一步往下換掉哪些項的呢？
還有，題目是？ [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-2-24 08:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=588&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第一行是怎樣推論到第二行的呢？
第四行到第五行是如何推論的呢？
第五行之後又是用什麼公式一步一步往下換掉哪些項的呢？
還有，題目是？ ... [/quote]
啊 對不起啊..我的老毛病又來了= =
第一行我直接將它2次方= =
忘了(A+B)^2是=A^2+2AB+B^2
= =
解目就是解第一行的方程
請指導一下
謝謝 [quote]原帖由 [i]popopoi12345[/i] 於 2008-2-24 10:41 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=589&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
啊 對不起啊..我的老毛病又來了= =
第一行我直接將它2次方= =
忘了(A+B)^2是=A^2+2AB+B^2
= =
解目就是解第一行的方程
請指導一下
謝謝 [/quote]
看的不太清楚，所以先確認一下，題目是解
tan 2θ + sec [color=Red]2θ[/color] = cos θ + sin θ
或是
tan 2θ + sec [color=Blue]θ[/color] = cos θ + sin θ
哪一個，才是正確要解決的題目呢？ [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-2-24 11:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=591&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
看的不太清楚，所以先確認一下，題目是解
tan 2θ + sec 2θ = cos θ + sin θ
或是
tan 2θ + sec θ = cos θ + sin θ
哪一個，才是正確要解決的題目呢？ ... [/quote]
是tan 2θ + sec θ = cos θ + sin θ
謝謝
而且想另外一條關於積化和差 及和差化積的問題
不用計算機，試求下列的值，
sin^2(10°) +cos^2(40°) +sin(10°)cos(40°)
請指導一下。 [quote]原帖由 [i]popopoi12345[/i] 於 2008-2-25 04:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=593&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
而且想另外一條關於積化和差 及和差化積的問題
不用計算機，試求下列的值，
sin^2(10°) +cos^2(40°) +sin(10°)cos(40°)
請指導一下。 [/quote]
sin^2(10°) +cos^2(40°) +sin(10°)cos(40°)
<前兩項用半角公式>
＝ {1 -cos(20°)}/2 + {1 +cos(80°)}/2 +sin(10°)cos(40°)
＝ 1 +{cos(80°) - cos(20°)} / 2 +sin(10°)cos(40°)
<中間項的分子用和差化積>
＝ 1 +{ -2 sin(50°) sin(30°)}/2 +sin(10°)cos(40°)
<把中間項整理一下，最後一項把 sin(10°) 換成 cos(80°) >
＝ 1 -cos(40°)/2 +cos(80°)cos(40°)
<最後一項用積化和差>
＝ 1 -cos(40°)/2 +{cos(120°) +cos(40°)}/2
＝ 1 +cos(120°)/2
＝ 1 + (-1/2) /2
＝ 1 - 1/4
＝ 3/4 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-2-25 05:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=594&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
sin^2(10°) +cos^2(40°) +sin(10°)cos(40°)
＝ {1 -cos(20°)}/2 + {1 +cos(80°)}/2 +sin(10°)cos(40°)
＝ 1 +{cos(80°) - cos(20°)} / 2 +sin(10°)cos(40°)
＝ 1 +{ -2 sin(50°) sin(30 ... [/quote]
現在半角公式在第一次公開考試是不納入範圍內
我剛剛上網看了證明
在什麼時間用半角公式比較好呢?
為什麼在這一題要用半角公式呢?
用半角公式目的通常在哪
想請問多一個運用半角公式的問題
sin^2 10° =sin^2 20°/2
sin^2 20°/2=正負根號(1-cos20°)/2
sin20°/2 = 正負(1-cos20°)/2
那正負怎樣處理? [quote]原帖由 [i]popopoi12345[/i] 於 2008-2-25 07:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=596&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
現在半角公式在第一次公開考試是不納入範圍內[/quote]
台灣還是有教，其實半角公式就是倍角公式的一個應用而已。 :-)
[quote]我剛剛上網看了證明
在什麼時間用半角公式比較好呢?
為什麼在這一題要用半角公式呢?
用半角公式目的通常在哪[/quote]
半角公式通常用在，需要把次方數變低次，或是求半角的時候。
像這一題，就是可以利用半角公式把次方數降低，由二次降為一次。
[quote]想請問多一個運用半角公式的問題
sin^2 (10°) =sin^2 (20°/2)
sin^2 (20°/2) =正負根號{1-cos20°} / 2
sin (20°/2) = 正負(1-cos20°)/2
那正負怎樣處理? [/quote]
上面推論的第二、三個等式是錯的，
應該是 sin (20°/2) =正負根號｛{1-cos20°} / 2｝
其中正負號的選取，就看 sin (20°/2) 裡面的角度 20°/2 是落在第一象限，
而正弦函數帶入的角度如果在在第一象限，取值為正，
故，sin (20°/2) =根號｛{1-cos20°} / 2｝ [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2008-2-25 09:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=597&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
台灣還是有教，其實半角公式就是倍角公式的一個應用而已。 :-)
半角公式通常用在，需要把次方數變低次，或是求半角的時候。
像這一題，就是可以利用半角公式把次方數降低，由二次降為一次。
上面推論的第二、三個等式是錯 ... [/quote]
那如果是角度是x 我不知道落在第幾象限
那是否不能用半角公式 [quote]原帖由 [i]popopoi12345[/i] 於 2008-2-26 07:07 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=598&ptid=460][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
那如果是角度是x 我不知道落在第幾象限
那是否不能用半角公式 [/quote]
如果不知道角度 x 是落在第幾象限，就只能寫
sin (x/2) =正負根號｛{1 - cosx} / 2｝
或是把兩邊同時平方，也就是
sin^2 (x/2) ={1 - cosx} / 2
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