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weiye 發表於 2008-2-10 20:37

艾森斯坦判別法 (Eisenstein's criterion)

[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95&variant=zh-tw]艾森斯坦判別法[/url]([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion]Eisenstein's criterion[/url])
中文: [url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95&variant=zh-tw]http://zh.wikipedia.org/w/index.php?...&variant=zh-tw[/url]
英文: [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion]http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion[/url]

這是在代數學裡面會學到的一個定理,用來判別有理係數多項式是不是在有理係數多項式的體裡面是 irreducible.(亦即,無法更進一步再分解成兩個有理係數多項式的乘積)

由於 wikipedia 裡面提供的初等證明還是可能要學過一點 代數學 才會看得懂。



[url=http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/node102.html]http://web.ew.usna.edu/~wdj/book/node102.html[/url]
↑↑↑↑↑↑ 這裡提供一個沒有用到 代數學 的證明。


我把它翻成中文:


[b]Theorem  2.12.3[/b] (Eisenstein's criterion)      假設質數[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img488.png[/img]可以整除整係數多項式[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2380.png[/img]除了領導係數以外的其他所有係數,且常數項沒辦法被 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img1560.png[/img]整除,則此多項式無法分解成兩個整係數多項式的乘積。


   [b]proof[/b]: 假設 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2380.png[/img]滿足此定理的假設,也就是已知當[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2382.png[/img] 時,[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2381.png[/img],且同時 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2383.png[/img]及 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2384.png[/img]。  

接下來要利用矛盾證法,也就是假設 f(x)可以分解成兩個整係數多項式的乘積,寫作  [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img1665.png[/img],其中
[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2385.png[/img],  [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2386.png[/img]皆為整係數多項式,為了方便書寫,假設只要[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2388.png[/img],則令[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2387.png[/img] ,且只要[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2390.png[/img],則令[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2389.png[/img] ,如此就可以利用比較乘開之後 x^t 的係數,而得  [align=center]   [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2391.png[/img]  (2.2) [/align]
其中,當 t=0 的時候,可得[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2392.png[/img],因為 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2393.png[/img]且  [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2384.png[/img],所以 p 一定恰為 a0 或 b0 其中之一的因數,且不同時為 a0 與 b0 此兩數之因數,不失一般性,我們可以假設 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2394.png[/img]且  [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2395.png[/img]。

因為已知 b0 到 bk 裡面至少有一個係數可以被 p 整數整數,所以假設[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img205.png[/img] 是滿足不被 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img488.png[/img] 整除的[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2396.png[/img]裡面下標最小的一個(譯註:亦即 p 是 b0, b1, ... b_{t-1} 的因數,但 p 不是 bt 的因數,因為 f(x) 係數不完全被 p 整除,所以可以知道 t≦k,且因為m≧1,所以t<n),因為由上一段推得[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2394.png[/img],所以可以知道[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2397.png[/img]。

觀察滿足此條件 t 的 at ,觀察等式 (2.2) 的左邊,可以發現因為[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img488.png[/img]整除b0, b1, ... b_{t-1} ,且 p 不是 c0 也不是 bt 得因素,所以 at 不是 p的因數,可是由假設的已知,可以知道 p 可以整除除了 an 以外的所有係數(當然也包含) at ,由此產生矛盾,故滿足此定理的前提的 f(x)必無法分解成兩個整係數多項式的乘積。[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img58.png[/img](得證!)



原討論串:[url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=144087]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=144087[/url]

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