艾森斯坦判別法 (Eisenstein's criterion)
[url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95&variant=zh-tw]艾森斯坦判別法[/url]([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion]Eisenstein's criterion[/url])中文： [url=http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95&variant=zh-tw]http://zh.wikipedia.org/w/index.php?...&variant=zh-tw[/url]
英文： [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion]http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion[/url]
這是在代數學裡面會學到的一個定理，用來判別有理係數多項式是不是在有理係數多項式的體裡面是 irreducible.(亦即，無法更進一步再分解成兩個有理係數多項式的乘積)
由於 wikipedia 裡面提供的初等證明還是可能要學過一點 代數學 才會看得懂。
[url=http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/node102.html]http://web.ew.usna.edu/~wdj/book/node102.html[/url]
↑↑↑↑↑↑ 這裡提供一個沒有用到 代數學 的證明。
我把它翻成中文：
[b]Theorem 2.12.3[/b] (Eisenstein's criterion) 假設質數[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img488.png[/img]可以整除整係數多項式[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2380.png[/img]除了領導係數以外的其他所有係數，且常數項沒辦法被 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img1560.png[/img]整除，則此多項式無法分解成兩個整係數多項式的乘積。
[b]proof[/b]: 假設 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2380.png[/img]滿足此定理的假設，也就是已知當[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2382.png[/img] 時，[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2381.png[/img]，且同時 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2383.png[/img]及 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2384.png[/img]。
接下來要利用矛盾證法，也就是假設 f(x)可以分解成兩個整係數多項式的乘積，寫作 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img1665.png[/img]，其中
[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2385.png[/img], [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2386.png[/img]皆為整係數多項式，為了方便書寫，假設只要[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2388.png[/img]，則令[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2387.png[/img] ，且只要[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2390.png[/img]，則令[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2389.png[/img] ，如此就可以利用比較乘開之後 x^t 的係數，而得 [align=center] [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2391.png[/img] (2.2) [/align]
其中，當 t=0 的時候，可得[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2392.png[/img]，因為 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2393.png[/img]且 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2384.png[/img]，所以 p 一定恰為 a0 或 b0 其中之一的因數，且不同時為 a0 與 b0 此兩數之因數，不失一般性，我們可以假設 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2394.png[/img]且 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2395.png[/img]。
因為已知 b0 到 bk 裡面至少有一個係數可以被 p 整數整數，所以假設[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img205.png[/img] 是滿足不被 [img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img488.png[/img] 整除的[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2396.png[/img]裡面下標最小的一個(譯註：亦即 p 是 b0, b1, ... b_{t-1} 的因數，但 p 不是 bt 的因數，因為 f(x) 係數不完全被 p 整除，所以可以知道 t≦k，且因為m≧1，所以t<n)，因為由上一段推得[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2394.png[/img]，所以可以知道[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img2397.png[/img]。
觀察滿足此條件 t 的 at ，觀察等式 (2.2) 的左邊，可以發現因為[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img488.png[/img]整除b0, b1, ... b_{t-1} ，且 p 不是 c0 也不是 bt 得因素，所以 at 不是 p的因數，可是由假設的已知，可以知道 p 可以整除除了 an 以外的所有係數(當然也包含) at ，由此產生矛盾，故滿足此定理的前提的 f(x)必無法分解成兩個整係數多項式的乘積。[img]http://web.ew.usna.edu/%7Ewdj/book/img58.png[/img](得證！)
原討論串：[url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=144087]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=144087[/url]
頁:
[1]