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當最困難的時候,
也就是離成功不遠的時候。

weiye 發表於 2008-1-9 22:28

數列與級數,分項對消法的考題。

[quote]設數列 a_n = ( n^2 + 2n + 1 )^(1/3) + ( n^2 - 1 )^(1/3) + ( n^2 -2n +1 )^(1/3),
則 1/a_1 + 1/a_3 + 1/a_5 + ... + 1/a_2001 = ?[/quote]

如果 x=(n+1)^(1/3), y=(n-1)^(1/3) ,則 a_n=x^2 + x y + y^2

所以

1/a_n = 1/(x^2 + x y + y^2) = (x-y)/(x^3-y^3) = (x-y)/2 = {(n+1)的三次方根 - (n-1)的三次方根} / 2

故,所求 = {2的三次方根 - 0 的三次方根}/2 +  {4的三次方根 - 2的三次方根}/2 +  {6的三次方根 - 4的三次方根}/2 +‧‧‧‧‧‧

中間大多數都會對消掉,剩下兩項,也就是

{2002的三次方根  - 0 的三次方根}/2

bugmens 發表於 2011-7-3 10:27

補上出處
設數列\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \),則\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+...+\frac{1}{a_{2001}} \)
(90高中數學能力競賽 宜花東區試題,[url]http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2002_Taiwan_High_Ilan_02.pdf[/url])

對每個\( n \in N \),設\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \),則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{500} \frac{1}{a_{2n-1}} \)的值是?
(1991上海高中數學競賽)

設數列\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \),則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{a_n}= \)?
(94蘭陽女中)

設對所有的正整數n,\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \),\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+...+\frac{1}{a_{997}}+\frac{1}{a_{999}}= \)?
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7
(95基隆市國中聯招)

\( g(n)=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \).
\( \displaystyle \frac{1}{g(1)}+\frac{1}{g(3)}+...+\frac{1}{g(999999)} \)
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=333174[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-3 10:33 AM 編輯 [/i]]

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