數列與級數，分項對消法的考題。
[quote]設數列 a_n = ( n^2 + 2n + 1 )^(1/3) + ( n^2 - 1 )^(1/3) + ( n^2 -2n +1 )^(1/3)，則 1/a_1 + 1/a_3 + 1/a_5 + ... + 1/a_2001 = ?[/quote]
如果 x=(n+1)^(1/3), y=(n-1)^(1/3) ，則 a_n=x^2 + x y + y^2
所以
1/a_n = 1/(x^2 + x y + y^2) = (x-y)/(x^3-y^3) = (x-y)/2 = {(n+1)的三次方根 - (n-1)的三次方根} / 2
故，所求 = {2的三次方根 - 0 的三次方根}/2 + {4的三次方根 - 2的三次方根}/2 + {6的三次方根 - 4的三次方根}/2 +‧‧‧‧‧‧
中間大多數都會對消掉，剩下兩項，也就是
{2002的三次方根 - 0 的三次方根}/2 補上出處
設數列\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，則\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+...+\frac{1}{a_{2001}} \)
(90高中數學能力競賽 宜花東區試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2002_Taiwan_High_Ilan_02.pdf 連結已失效)
對每個\( n \in N \)，設\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{500} \frac{1}{a_{2n-1}} \)的值是？
(1991上海高中數學競賽)
設數列\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{a_n}= \)？
(94蘭陽女中)
設對所有的正整數n，\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+...+\frac{1}{a_{997}}+\frac{1}{a_{999}}= \)？
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7
(95基隆市國中聯招)
\( g(n)=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \).
\( \displaystyle \frac{1}{g(1)}+\frac{1}{g(3)}+...+\frac{1}{g(999999)} \)
[url]https://artofproblemsolving.com/community/c6h333174[/url]
113.5.12補充
若\(n\)為正整數，且\(\displaystyle a_n=\root 3\of{(n+1)^2}+\root 3\of{n^2-1}+\root 3\of {(n-1)^2}\)，試求\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{4095}}=\)[u] [/u]。
(113內湖高工，[url]https://math.pro/db/thread-3866-1-1.html[/url])
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