三角函數題，求f(x)=cos(sinx) 之週期
試問f(x)=cos(sinx) 之週期為何？ 設 f( x ) 的週期為 T, 則∵ f( x+π ) = cos(sin(x+π)) = cos( - sin(x)) = cos(sin(x)) = f(x)
∴ π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n
因為 sin 在 [0, π/2] 是"嚴格"單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是"嚴格"單調遞減函數
所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是"嚴格"單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2
故 cos(sinx) 之週期為 π 不好意思,關於以下紅字部分的解說不甚了解
[color=red]π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n [color=black]因為 sin 在 [0, π/2] 是單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是單調遞減函數[/color] 所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2 故 cos(sinx) 之週期為 π[/color] [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2007-12-17 11:39 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=520&ptid=428][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不好意思,關於以下紅字部分的解說不甚了解
[color=red]π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n[/color] [/quote]
因為 T 是週期，也就是[b]最小的[/b]循環長度，
且已知 cos(sin(x)) 每 π 個長度會循環(也就是距離 π 個單位就會有相同的函數值)。
所以 π 一定是 T 的正整數倍數。
[quote][color=red][color=black]因為 sin 在 [0, π/2] 是單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是單調遞減函數[/color] 所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2 故 cos(sinx) 之週期為 π[/color][/quote]
我應該加上 "嚴格"單調遞減比較恰當，
cos(sin(x)) [color=red][color=black]在 [0, π/2][/color][/color] 區間時是嚴格單調遞減函數，
嚴格單調遞減函數必有：若 x > y ，則 f(x) < f(y) 的特性(隨著變數越大，函數值就越來越小)。
而因為 T 是週期，所以 f(x+T)=f(x) ，
x 以 0 帶入，必有 f(0)=f(T) ，
如果 T 小於或等於 [color=red][color=black]π/2[/color][/color] ，
則 cos(sin(x)) 當[color=red][color=black] x 在 [0, π/2][/color][/color] 區間時，至少會有兩個函數值相等，
這與 cos(sin(x)) [color=red][color=black]在 [0, π/2][/color][/color] 區間時是嚴格單調函數的性質相矛盾，
故 T 不可能小於或等於 [color=red][color=black]π/2[/color][/color]。[color=red][color=black][/color][/color] 補充相關題目
求出(并予以证明)函数\( y=sin(cos x) \)的最小正周期
(新奥数教程 高一卷 第10讲三角函数的性质及应用)
设\( x \in [0,\pi] \)，试比较\( cos(sin x) \)与\( sin(cos x) \)大小
附上geogebra畫面
可以看出\( y=sin(cos x) \)週期\( 2 \pi \)，\( y=cos(sin x) \)週期\( \pi \)
且\( cos(sin x)>sin(cos x) \)
2010.5.28補充
請問對於所有實數x，\( sin(cos x) \),\( cos(sin x) \)哪一個大？(請詳細證明)
92高中數學能力競賽台南區，連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2004_Taiwan_High_Tainan_01.pdf
頁:
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