組合的題目，(5+x)^n 按x的升冪排列中第3項係數為9375，求n
設N為正整數。若(5+x)^n 按x的升冪序展式中第3項係數為9375，試求n的值應該怎樣計?謝謝 (5+x)^n 展開式，升冪排列，依照二項式定理，
第三項係數，應該是 C(n,2) * 5^(n-2) = {n(n-1)/2} * 5^(n-2)
將 9375 因數分解，可得 9375 = 3* 5^5 = (6 * 5^5 )/2
故 n=6
(因為 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 在 n≧1 時，是嚴格遞增函數，所以是唯一解。) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2007-12-5 10:43 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=500&ptid=422][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(5+x)^n 展開式，升冪排列，依照二項式定理，
第三項係數，應該是 C(n,2) * 5^(n-2) = {n(n-1)/2} * 5^(n-2)
將 9375 因數分解，可得 9375 = 3* 5^5 = (6 * 5^5 )/2
故 n=6
(因為 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 在 n≧1 時，是嚴格遞 ... [/quote]
恕我笨=_=
為甚麼 {n(n-1)/2} * 5^(n-2)=(6 * 5^5 )/2
N就=6呢 ?
這一課很弱T_T 沒蝦咪笨不笨啦，別想太多。
n = 6 的解，是觀察出來的結果，
利用 (n-1) 跟 n 是連續的兩個數觀察出來的，
所以 n=6 帶入 { n(n-1)/2 }* 5^(n-2) 檢驗看看，
可以發現就是 {6*5/2}*5^4 = {6*5^5}/2 = 3*5^5
所以存在有 n = 6 這個解。(解的存在性！)
然後再想看看有沒有可能會有其他的解，
觀察 n(n-1)/2 在 n ≧1，是嚴格遞增，
也就是說 n 越大，則 n(n-1)/2 只會更大，
n 越小(但是因為 n 為正整數，故 n ≧1 喔)，n(n-1)/2 也只會變小，
同樣的 5^{n-2} 也是嚴格遞增函數，
所以利用 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 在 n≧1 時，是嚴格遞增函數的特性，
可以發現 n 如果比 6 大或是比 6 小，
則 {n(n-1)/2} * 5^(n-2) 就會比 9375 大，或比 9375 小，
所以 n=6 是唯一解。(解的唯一性。)
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