傍心
三角形ABC中,三邊長a=2,b=3,c=4,三個傍心為A',B',C',則三角形ABC:三角形A'B'C'=? 令 r_a, r_b, r_c 分別為三個傍切圓的半徑,三角形ABC的面積為 Δ,則r_a= 2Δ / (b+c-a)
r_b=2Δ / (a+c-b)
r_c=2Δ / (a+b-c)
則
三角形A'B'C' 面積
= 三角形ABC 面積+三角形A'BC 面積+三角形AB'C 面積+三角形ABC' 面積
= Δ + (1/2)*a*r_a + (1/2)*b*r_b + (1/2)*c*r_c
= Δ + Δ*a / (b+c-a) + Δ*b / (a+c-b) + c*Δ / (a+b-c)
= Δ ( 1 + a / (b+c-a) + b / (a+c-b) + c / (a+b-c) )
= Δ*32/5 (←←a=2, b=3, c=4 帶入的結果)
所以,三角形ABC面積 : 三角形A'B'C' 面積 = 5:32 請問以下等式是如何推得
r_a= 2Δ / (b+c-a)
r_b=2Δ / (a+c-b)
r_c=2Δ / (a+b-c) 以 r_a= 2Δ / (b+c-a) 為例
利用 ΔABC面積 = ΔA'BA面積 + ΔA'CA面積 - ΔA'BC面積
= (1/2) * r_a * AB線段長 + (1/2) * r_a * AC線段長 - (1/2)*r_a* BC線段長
= (1/2) * r_a * (c+b-a)
所以, r_a= 2 ΔABC面積 / (b+c-a)
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