解三元三次聯立方程式
一個學生問的問題，也是[url=http://www.math.nsysu.edu.tw/%7Eproblem/]雙週一題[/url]96學年度第一學期第三題。[quote]想請問一題：
x+xy+xyz=12 .................(1)
y+yz+yzx=5 ...................(2)
z+zx+zxy=6 ...................(3)
求解。[/quote]
(1) 左右同乘 z ，然後左右同加 z
(2) 左右同乘 x ，然後左右同加 x
(3) 左右同乘 y ，然後左右同加 y
可得
\[z+zx+zxy+xyz^2=13z\]
\[x+xy+xyz+yzx^2=6x\]
\[y+yz+yzx+zxy^2=7y\]
亦即
\[(z+zx+zxy)+xyz^2=13z\]
\[(x+xy+xyz)+yzx^2=6x\]
\[(y+yz+yzx)+zxy^2=7y\]
亦即
\[6+xyz^2=13z\]
\[12+yzx^2=6x\]
\[5+zxy^2=7y\]
亦即
\[6=z(13-xyz) .................(4)\]
\[12=x(6-xyz) ...................(5)\]
\[5=y(7-xyz) ...................(6)\]
將 (4),(5),(6) 式相乘，可得
\[360 = xyz(13-xyz)(6-xyz)(7-xyz)\]
令 \(t= xyz\) ，則
\[360 = t(13-t)(6-t)(7-t) ⇒ t(t-13)(t-7)(t-6)+360=0\]
\[⇒ (t^2-13t)(t^2-13t+42)+360=0 ⇒ (t^2-13t)^2 + 42 (t^2-13t)+360=0\]
\[⇒ (t^2-13t-12)(t^2-13t-30)=0 ⇒ (t-12)(t-1)(t-3)(t-10)=0\]
所以 \(t = 12, 1, 3,\) 或 \(10\)
亦即 \(xyz = 12, 1, 3,\) 或 \(10\) ，帶入 (4),(5),(6) 分別可以解出四組 \(x,y,z\) 的值。
後來，另外一個朋友 keith_291 的提醒：
[quote] 作者: keith_291
小小吐槽一下XDDD
其實只有3組解喔
(12/5, 5/6 , 1/2)這組代回去會矛盾
因為他算是增根![/quote]
感謝，因為有同乘變數的動作，可能會增根，居然忘了帶入最早的方程式檢查，呵呵
所以實際上只有三組解。
\[(x,y,z) = (-3, -\frac{5}{3}, 2), (-2,-1,6) 或是 (4, \frac{5}{4}, \frac{3}{5})\]
我的解答的 PDF 版本：
[url=https://math.pro/temp/qq53.pdf]https://math.pro/temp/qq53.pdf[/url]
雙週一題的官方版解答：
[url=http://www.math.nsysu.edu.tw/%7Eproblem/2007f/3ans.pdf]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/3ans.pdf[/url] 我仿照這篇來解這題 [url]http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=116336[/url]
\( x+xy+xyz=12 \) ...(1)
\( y+yz+yzx=5 \) ...(2)
\( z+zx+zxy=6 \) ...(3)
顯然\( x,y,z ≠0 \)
(2) × \( x \)－(1) 得 \( x-yzx^2=12-5x \)，\( xyz=\frac{6x-12}{x} \)
(3) × \( y \)－(2) 得 \( y-zxy^2=5-6y \)，\( xyz=\frac{7y-5}{y} \)
(1) × \( z \)－(3) 得 \( z-xyz^2=6-12z \)，\( xyz=\frac{13z-6}{z} \)
所以\( 6-\frac{12}{x}=7-\frac{5}{y}=13-\frac{6}{z} \)
\( y=\frac{5x}{x+12} \)，\( z=\frac{6x}{7x+12} \) 代入(1)式
\( x+\frac{5x^2}{x+12}+\frac{30x^2}{(x+12)(7x+12)}=12 \)
化簡後
\( x^3+x^2-14x-24=0 \)，\( (x-4)(x+2)(x+3)=0 \)
得到三組解
\( (x , y , z)=(4 , \frac{5}{4} , \frac{3}{5})\)，\( (-2 , -1 , 6) \)，\( (-3 , \frac{-5}{3} , 2) \)
另外用maxima解題,方法是一樣的
請教一題，謝謝各位
x+xy+xyz=9y+yz+xyz=14
Z+zx+xyz=12
求x,y,z實數解 參考站長大的解法
[url]https://math.pro/db/thread-407-1-1.html[/url]
回復 1# anson721 的帖子
小弟也來個解法。這個題目的數據設計得不好，要解三次方程\(\begin{align}
& x+xy+xyz=9 \\
& y+yz+xyz=14 \\
& z+zx+xyz=12 \\
& \\
& xyz=t \\
& x+xy=9-t \\
& z\left( 1+x+xy \right)=12 \\
& z\left( 10-t \right)=12 \\
& z=\frac{12}{10-t},x=\frac{9}{15-t},y=\frac{14}{13-t} \\
& \\
& \frac{9}{15-t}+\frac{9\times 14}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)}+\frac{9\times 14\times 12}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)\left( 10-t \right)}=9 \\
& \frac{1}{15-t}+\frac{14}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)}+\frac{168}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)\left( 10-t \right)}=1 \\
& {{t}^{3}}-37{{t}^{2}}+438t-1512=0 \\
& \left( t-6 \right)\left( {{t}^{2}}-31t+252 \right)=0 \\
& t=6 \\
& \\
& x=1,y=2,z=3 \\
\end{align}\) 謝謝 thepiano 大大
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