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weiye 發表於 2007-10-5 23:42

例題：試證明對於自然數k，若2^k-1為質數，則k必為質數。

[quote]試證明對於自然數k，若2^k-1為質數，則k必為質數。[/quote]

若 k  為合數，設 k = m*n (正整數 m,n>1)

令 2^m = t

則

2^k - 1 = 2^(m*n) - 1

　　　　 = t^n -1

　　　　 = (t - 1)(t^(n-1) + t^(n-2)+...+t+1)

其中

t - 1 = 2^m -1 ≧ 2^2 -1 = 3 >1

且

t^(n-1) + t^(n-2)+...+t+1 ≧ t + 1 = 2^2 + 1 >1

故 2^k - 1 為合數，矛盾，

因此，若 2^k - 1 為質數，則 k 必為質數。




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