113彰化女中代理
歡迎討論交流 4.\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right)=\)[u] [/u]
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
6.
已知空間中兩點\(A(1,2,3)\)，\(B(2,1,-1)\)，動點\(P(t,2t+1,2t),t\)為實數，若\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時，此時\(t=\)[u] [/u]
我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url]
9.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{3n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}\right)=\)[u] [/u]
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
11.
有一個立體圖形的底面是一個半徑為 1 的圓，某個同方向的所有截面都是正三角形，求此立體圖形的體積為[u] [/u]
[img]https://i.imgur.com/OaA7ePw.png[/img]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1652798930.A.FB0.html[/url]
113.11.24補充解題動畫
12.
農夫有一塊正方形的田地，已知該田地的四個邊界剛好各有一口水井，而已都不是在正方形的頂點上，若將該田地座標化且選取一定點為原點後，則四口水井的座標依順時針方向分別為\((0,8)\)、\((9,2)\)、\((6,0)\)、\((-5,4)\)，試問滿足該四口水井位置的最大田地面積為[u] [/u]平方單位。
(110北模數學A，[url]https://math.pro/db/thread-3879-1-1.html[/url])
16.
在坐標平面上，\(A\)點坐標為\((8,0)\)，\(B\)點坐標為\((0,6)\)，\(P\)為圓：\(x^2+y^2=16\)上的動點，求\(3\overline{PA}+2\overline{PB}\)的最小值=[u] [/u]
坐標平面上有兩定點\(A(-1,0)\)、\(B(1,1)\)，\(P\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上一點，則\(2\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值為[u] [/u]。
(113文華高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3836&page=3#pid25859[/url])
在坐標平面上，若\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1\)、\(A(9,0)\)、\(B(7,7)\)，且動點\(P\)在\(\Gamma\)上，試求：\(5\overline{PA}+3\overline{PB}\)的最小值為。
(113嘉科實中，聯結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3842&page=1#pid26247[/url])
17.
六個人進行籃球傳球訓練，每人接到球後要傳給別人，開始時由甲將球傳給其他人，若第七次傳球結束後，球在甲手上，試問共有多少種不同的傳球方式？
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有幾種不同的傳球方法？
(A)156 (B)258 (C)342 (D)514
(110全國高中聯招，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3530&page=1#pid23123[/url])
第4題和第9題
乍看之下好像都是黎曼和，想說是不是弄錯了，仔細算了一下才發現不一樣。第4題
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right)=\)[u] [/u]
[解答]
(黎曼和)
\( \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^2 +2n}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 +4n}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 +2n^2}} = \frac{1}{2} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n} ( \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{2}{n}}} + \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{4}{n}}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1 +\frac{2n}{n}}} = 0.5 \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{1+x}} \mathrm{d} x =0.5*2 (\sqrt{1+x} |^2_0) = \sqrt{3} -1 ) \)
第9題
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{3n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}\right)=\)[u] [/u]
[解答]
(夾擠定理)
\( \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 }} = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{3n^2 }} + \frac{1}{\sqrt{3n^2 }} + ... + \frac{1}{\sqrt{3n^2}} ) > \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{3n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{3n^2 + 2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{3n^2 + 2n}} ) > \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{3n^2 +2n }} + \frac{1}{\sqrt{3n^2 +2n }} + ... + \frac{1}{\sqrt{3n^2+2n}}) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 +2n}} \)
故 \( \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 }} > 原式 > \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 +2n}} \)，又\( \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 }} = \frac{2}{\sqrt{3}}、 \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{3n^2 +2n}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)，所以所求為 \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} \)
回覆 2# bugmens 的帖子
請教16題，好像跟您放的連結不太一樣.謝謝您囉！
回覆 4# mathguy 的帖子
第 16 題在坐標平面上，\(A\)點坐標為\((8,0)\)，\(B\)點坐標為\((0,6)\)，\(P\)為圓：\(x^2+y^2=16\)上的動點，求\(3\overline{PA}+2\overline{PB}\)的最小值=[u] [/u]
[解答]
P(x，y)，M(0，m)
令 PM = (2/3)PB
9PM^2 = 4PB^2
9x^2 + 9(y - m)^2 = 4x^2 + 4(y - 6)^2
5x^2 + 5y^2 - 6(3m - 8)y + (9m^2 - 144) = 0
80 - 6(3m - 8)y + (9m^2 - 144) = 0
6(3m - 8)y - (9m^2 - 64) = 0
(3m - 8)(6y - 3m - 8) = 0
m = 8/3，M(0，8/3)
3PA + 2PB = 3[PA + (2/3)PB] = 3(PA + PM) ≧ 3AM = 8√10
回覆 5# thepiano 的帖子
真美的解法！利用阿波尼斯圓找出圓內的M點AM跟圓的交點根本不是有理數，難怪我用sin,cos下去微分根本沒辦法。
謝謝鋼琴大大。
18題分享
在\(\Delta ABC\)的邊\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)的外側分別作正三角形\(\Delta ABE\)及\(\Delta ACF\)。已知\(\overline{AC}=1\)且\(\overline{EF}=2\)，求\(\Delta ABC\)面積的最大可能值[u] [/u][解答]
不知道有沒有簡單點的解法
這樣做考試時太花時間ㄌ
回覆 7# mathguy 的帖子
第 18 題110 高中數學能力競賽決賽 口試題
[url]https://math.pro/db/thread-3612-1-2.html[/url]
去年師大附中也考過這題
回覆 8# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴大告知。看到解答了。
真的妙啊，中間的轉折成圓的方程式真是神來一筆。
我正在想說萬一我微分又是像昨天那題3PA+2PB的解不出根的該怎麼辦？
真是感謝。
看樣子競賽的題目很多這種需要神來一筆的技巧的。 各位老師好，想請教填充題14，謝謝各位老師。
回覆 10# aizin 的帖子
14.已知\(\Delta ABC\)的外心坐標為\(O(-1,2)\)、內心坐標\(I(2,2)\)、\(A(2,8)\)，求直線\(BC\)方程式[u] [/u]
[解答]
請參考
回覆 11# mathguy 的帖子
謝謝老師回覆 12# aizin 的帖子
不客氣。我後來發現外心（1，2）根本在AB線段上，也就是AB線段=2AO
。且<ACB=90度。
不知道有沒有神人可以直接看出來，不用像我算這麼多。 不好意思，想請教填充8、10。謝謝各位老師 填充10
在直角梯形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}\perp \overline{AD},\overline{AB}//\overline{DC},\overline{AB}=2,\overline{AD}=\overline{DC}=1\)，圖中圓弧所在圓的圓心為點\(C\)，半徑為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)，點\(P\)在圖中陰影部分(含邊界)運動。若\(\vec{AP}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{BC}\)，其中\(\alpha\)、\(\beta\)為實數，則\(4\alpha-\beta\)最大值為[u] [/u]
[解答] 謝謝ruee29老師，另外想請教填充8，謝謝各位老師 謝謝各位老師，填充8已經想出來了，感謝
#14題 回復
14.已知\(\Delta ABC\)的外心坐標為\(O(-1,2)\)、內心坐標\(I(2,2)\)、\(A(2,8)\)，求直線\(BC\)方程式[u] [/u]
[解答]
淺見供參考
[註]雞爪定理不難證明利用圓周角與角平分線與等腰三角形性質即可
回覆 18# 王重鈞 的帖子
雞爪太帥了，漂亮極力。回覆 17# aizin 的帖子
8.右圖為月偏食的示意圖，滿月被地球的影錐遮蔽一部分。假設滿月和地球影錐截面都是正圓，在圖中標記圓弧\(AP=PB\)均為滿月的圓周一部分，圓弧\(AQ=QB\)均為地球影錐截圓的圓周一部分 。 若\(\overline{AB}\)與\(\overline{PQ}\)分別是滿月圓半徑的\(\sqrt{3}\)與\(2-\sqrt{3}\)倍，則圖中月偏食亮面的面積是滿月圓面積的[u] [/u]倍
[解答]
提供一下第8淺見
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