113永春高中
填充第5題 89/16或99/32均給分。想請教版上老師們 填充5,7,10 和 計算題，謝謝。 3.
假設\(A\)為非空的有限集合，規定\(S(A)\)表示\(A\)中所有元素的和；例如：\(S(\{\;1,3,7\}\;)=1+3+7+11\)。考慮集合\(\{\;1,2,3,4,5,6,7,8\}\;\)中的每個非空子集合\(A\)，試求所有這樣\(S(A)\)的總和[u] [/u]。
(2013TRML個人賽，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1733&page=1#pid9168[/url])
4.
設\(z\)為複數，且\(|\;z|\;=1\)，已知\(|\;z^2-z+1|\;\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求\(M+m=\)[u] [/u]。
8.
\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=3\)，過\(A\)點在直線\(BC\)上的垂足為\(H\)。若(向量)\(\displaystyle \overline{AH}=-\frac{1}{2}\overline{AB}+\frac{3}{2}\overline{AC}\)，試求\(\triangle ABC\)的外接圓面積[u] [/u]。
(110學年度第2學期中山大學雙週一題第1題，[url]https://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2022s/2022s1.pdf[/url])
9.
試求\(sin^2 50^\circ+sin^2 70^\circ-sin^2 80^\circ\)的值[u] [/u]。
11.
設\(m\)為實數，已知四次方程式\(3x^4-4mx^3+1=0\)無實根，求\(m\)的範圍為[u] [/u]。
(91指考數甲，聯結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=785&page=1#pid1443[/url])
二、計算題
1.
試求\(\displaystyle \sqrt{10-6cos\theta}+\frac{1}{4}\sqrt{34-24\sqrt{2}sin\theta}+\sqrt{19-2\sqrt{2}cos\theta-8sin\theta}\)的最小值。
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填充第 7 題\(x,y\in R\)使得\(x^3=3x^2-5x\)，\(y^3=6y^2-14y+15\)，試求\(x+y\)的值[u] [/u]。
[解答]
題目應修正為 y^3 = 6y^2 - 14y + 15
這樣就可以算出原本出題者想要的答案
(類似題：111高雄中學第 5 題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3619&page=3#pid23716[/url])
[attach]7175[/attach]
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填充第 5 題113年永春盃網球排名賽18歲組單打賽共32名選手參賽，採單淘汰制，每名選手勢均力敵。若進入16強可得3分的積分，進入8強可得5分的積分，進入4強可得10分的積分，進入冠亞軍賽可得15分的積分，得冠軍者可得20分的積分，試問每位選手拿到的積分之期望值為[u] [/u]。
[解答]
算總積分，再平分給 32 隊
兩種不同解讀，得到不同答案
(20 + 15 * 2 + 10 * 4 + 5 * 8 + 3 * 16)/32 = 89/16
(20 + 15 + 10 * 2 + 5 * 4 + 3 * 8)/32 = 99/32
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計算題試求\(\displaystyle \sqrt{10-6cos\theta}+\frac{1}{4}\sqrt{34-24\sqrt{2}sin\theta}+\sqrt{19-2\sqrt{2}cos\theta-8sin\theta}\)的最小值。
[解答]
原式 = √[(cos θ - 3)^2 + (sin θ)^2] + √[(cos θ)^2 + (sin θ - (3/4) √2)^2] + √[(cos θ - √ 2)^2 + (sin θ - 4)^2]
所求即單位圓上一點到 A( 3，0)、B(0，(3/4) √2)、C(√2，4) 距離和的最小值
直線 AB 和 OC 垂直，垂足 P(1/3，(2/3)√2) 在單位圓上
所求 = PA + PB + PC = AB + OC - 1 = (21/4) √2 - 1 整理了永春高中解答 不確定有沒有寫錯 供參
(填充10 原本的圖畫錯了~附上修正後的檔案 )
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