Math Pro 數學補給站's Archiver

不是井裡沒有水,而是我們挖的不夠深;
不是成功來的慢,而是我們放棄的太快。

5pn3gp6 發表於 2024-6-15 20:20

113花蓮女中

113花蓮女中
06/17 17:22 更新題目為含有計算題的

bugmens 發表於 2024-6-15 21:26

一、填充題
2.
袋中有編號\(1,2,3,\ldots,50\)的球各一個,今自袋中任取3球,令隨機變數\(X\)表所取出球中號碼之最大值,則\(X\)之期望值\(E(X)=\)[u]   [/u]。

袋中有 \(2008\) 顆球,分別編號為 \(1,2,3,…,2008\),設每球被取中的機率相同,今從袋中隨機取出三顆球,設三顆球之中編號最大者為 \(T\),求 \(T\) 之期望值。
(99屏東女中,連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659[/url])

3.
設\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\),則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)的餘式為[u]   [/u]。

設多項式\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\),則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)所得到的餘式為何?
(A)6 (B)\(5-x\) (C)\(4-x+x^2\) (D)\(3-x+x^2-x^3\)
(94台南縣國中聯招,連結有解答[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770[/url])

4.
設函數\(f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5\),當數對\((x,y)=\)[u]   [/u]時,\(f(x,y)\)有最小值。
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957[/url]

6.
在銳角\(\Delta ABC\)中,若\(sinA=2sinB\cdot sinC\),則\(tanA\cdot tanB\cdot tanC\)的最小值為[u]   [/u]。
百度文章,連結有解答[url]https://zhidao.baidu.com/question/939924552763871492/answer/2537357484.html?&mzl=qb_xg_2&fr=relate&word=&refer_title=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2abc%E4%B8%AD,a&%C2%B2+2abcosC%C2%B2=3b%C2%B2,%E6%B1%82tanAtanBtanC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC[/url]

二、計算證明題
5.
設\(m\)、\(n\)為整數,且\(m\times n\ge 0\),則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的序對\((m,n)\)有多少組?
(110高中數學能力競賽北一區筆試二,連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847[/url])

kobelian 發表於 2024-6-16 10:58

老師我想請問第七題

nico90015 發表於 2024-6-16 15:20

想問第五題~謝謝!!

Jimmy92888 發表於 2024-6-16 17:41

回覆 4# nico90015 的帖子

第五題
設複數\(z\)為方程式\(x^4+4\sqrt{2}x^3i-12x^2-8\sqrt{2}xi-4i=0\)之根(其中\(i=\sqrt{-1}\)),則\(|\;z+\sqrt{2}i|\;=\)[u]   [/u]。
[解答]
化簡得,\((x+\sqrt{2}i)^4=4+4i\)
所以,\(|z+\sqrt{2}i|^4=4\sqrt{2}\)
\(|z+\sqrt{2}i|=2^{\frac{5}{8}}\)

Jimmy92888 發表於 2024-6-16 19:29

回覆 3# kobelian 的帖子

第7題
設坐標空間中有一平面\(E\):\(6x-2y-3z+7=0\),而\(E\)上有四點\(O,A,B,C\),與法向量\(\vec{n}=(6,-2,-3)\)。而\(E,O,A,B,C,\vec{n}\)的相對位置如示意圖,其中\(\Delta OAB,\Delta OBC,\Delta OCA\)的面積分別為\(14,7,42\),且\(\vec{OA}=(a_1,a_2,a_3),\vec{OB}=(b_1,b_2,b_3),\vec{OC}=(c_1,c_2,c_3)\),則\(\left|\ \matrix{4&a_1&a_2\cr 5&b_1&b_2 \cr 2&c_1&c_2}\right|\ =\)[u]   [/u]
[解答]
因為\(|n|=7\)
所以\(OA×OB=4n=(24,-8,-12),OB×OC=2n=(12,-4,-6),OC×OA=12n=(72,-24,-36)\)
因此,\(
\left|
\begin{array}
{cc}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}
\right|=-12,
\left|
\begin{array}
{cc}
b_1&b_2\\
c_1&c_2
\end{array}
\right|=-6,
\left|
\begin{array}
{cc}
c_1&c_2\\
a_1&a_2
\end{array}
\right|=-36,
\)

所求\(=(4,5,2).(-6,-36,-12)=-228\)

(抱歉,省略向量符號)

nico90015 發表於 2024-6-17 17:05

想問老師們計算2.4.6.7,謝謝!!

nico90015 發表於 2024-6-17 18:12

回覆 5# Jimmy92888 的帖子

謝謝老師!!

swallow7103 發表於 2024-6-17 21:06

#計算2
設\(f(x)=(x-a)(x-2021)+1\),\(g(x)=(x-b)(x-c)\),其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為整數。若\([f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0\),試求\(f(2024)\)之值。
[解答]
\( \displaystyle [f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0 推得 f(2022)-g(2022)=0、f(2023)-g(2023)=0\),
考慮\( h(x)=f(x)-g(x) \),由題目第一句話可知\( deg(h(x))=deg(f(x)-g(x)) <2 \),
又\( h(x)=0 有 2022、2023\)等兩根,表示\( h(x)=0 \)。
復比較\(f(x)、g(x) \)係數可得:a+2021=b+c、2021a+1=bc,故 2021(b+c-2021)+1=bc,整理可得(b-2021)(c-2021)=1。
因為b,c,a為整數,故(b,c,a)=(2020,2020,2019)或(2022,2022,2023)。
所以\( f(x)=(x-2019)(x-2021)+1 或f(x)=(x-2023)(x-2021)+1\),剩下就自己算吧,答案是16或4。

thepiano 發表於 2024-6-17 21:59

回覆 7# nico90015 的帖子

計算第 4 題
試證明\(a\)、\(b\)的方程式\(2^a-3^b=1\)恰有二組非負整數解。
[解答]
(1) a = 1,b = 0
(2) a = 2,b = 1
(3) a > 2
2^a ≡ 0 (mod 8)
b 是正奇數,3^b + 1 ≡ 4 (mod 8)
b 是正偶數,3^b + 1 ≡ 2 mod 8)
無解

負整數部分就不寫了

thepiano 發表於 2024-6-17 23:25

回覆 7# nico90015 的帖子

計算第 6 題
設\(f(1)=-1\),\(\displaystyle f(2)=-\frac{1}{2}\),對所有大於等於3的整數\(n\),\(f(n)\)滿足:\(n\cdot f(n)=(n-1)\cdot f(n-1)+f(n-2)\)。試求\(f(n)\)。
[解答]
n[f(n) - f(n - 1)] = - [f(n - 1) - f(n - 2)]
g(n) = f(n) - f(n - 1)
g(n)/g(n - 1) = -1/n
[g(3)/g(2)][g(4)/g(3)]……[g(n)/g(n - 1)] = (-1)^n * [1/(n!/2)] = (-1)^n * (2/n!)
g(2) = f(2) - f(1) = 1/2
g(n) = (-1)^n * (1/n!)

g(3) = f(3) - f(2) = -1/3!
g(4) = f(4) - f(3) = 1/4!
:
:
g(n) = f(n) - f(n - 1) = (-1)^n * (1/n!)
f(n) = -1/2 - 1/3! + 1/4! - …… + (-1)^n * (1/n!)

Jimmy92888 發表於 2024-6-18 07:49

回覆 7# nico90015 的帖子

更正計算題第7題
有一款手機遊戲《花女策珂戰》,遊戲中有抽卡機制,可以透過抽卡來抽得角色。每次抽卡都會抽出一張角色卡,抽卡有可能會抽到重複的角色卡。而角色卡有等級之分,最好的等級是SSR,其餘等級都稱為廢卡。此遊戲抽卡時會有保底機制,其機制為:若連續抽卡99次,皆抽到廢卡,則下一次抽卡必定抽得SSR,而必定抽到SSR的這次抽卡稱為觸發保底。此機制會永久有效,即只要抽到SSR卡,不論是直接抽到或者觸發保底抽到,只要再次發生連續抽卡99 次皆抽到廢卡,則下一抽也必定是抽到SSR。設尚未觸發保底時,每次抽卡抽到 SSR的機率皆為定值p,且\(0<p<1\)。若抽卡250次,試求抽到SSR的次數期望值(試以\(p\)表示答案)。
[解答]
設第\(k\)次抽到SSR的機率為\(p_k\)
\(p_1=p_2=...=p_{99}=p\)
\(p_{100}=p+(1-p)^{99}(1-p)=p+(1-p)^{100}\)
\(p_{101}=p+p_1(1-p)^{99}(1-p)=p+p_1(1-p)^{100}\)
\(p_{102}=p+p_2(1-p)^{99}(1-p)=p+p_2(1-p)^{100}\)
...
\(p_{250}=p+p_{150}(1-p)^{99}(1-p)=p+p_{150}(1-p)^{100}\)
因此250次可抽得SSR張數的期望值為
\(p_1+p_2+...+p_{250}\)
\(=250p+[1+p_1+p_2+...+p_{150}](1-p)^{100}\)
\(=250p+[1+p_1+p_2+...+p_{99}](1-p)^{100}+[p_{100}+p_{101}+...+p_{150}](1-p)^{100}\)
\(=250p+[1+99p](1-p)^{100}+[51p+(1+50p)p^{100}](1-p)^{100}\)
\(=250p+(1+150p)(1-p)^{100}+(1+50p)(1-p)^{200}\)

nico90015 發表於 2024-6-18 13:25

太太太感謝 swallow7103老師、鋼琴老師、Jimmy92888老師了!!!!!

5pn3gp6 發表於 2024-6-30 00:25

[quote]原帖由 [i]Jimmy92888[/i] 於 2024-6-18 07:49 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26420&ptid=3889][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
更正計算題第7題

設第\(k\)次抽到SSR的機率為\(p_k\)
\(p_1=p_2=...=p_{99}=p\)
\(p_{100}=p+(1-p)^{99}(1-p)=p+(1-p)^{100}\)
\(p_{101}=p+p_1(1-p)^{99}(1-p)=p+p_1(1-p)^{100}\)
\(p_{102}=p+p_2(1-p)^{99}(1-p) ... [/quote]

漂亮的作法,我也提供一個想法

如果沒有保底機制,則期望值為:\(250p\)

有了保底機制後,就需要補上連續99抽都不是好卡時,第100抽仍不是好卡時,保底機制所提供的一張。

若保底機制是發生在第1~100抽,則提供:\((1-p)^{99}*(1-p)=(1-p)^{100}\)

因為保底機制需要連續抽到爛卡,所以除了第1~100抽之外,其他觸發保底的情況都是先抽到一張SSR,再來連續99抽與不是好卡
故保底機制的完整過程是在第2~101抽、第3~102抽、第4~103抽、......、第151~250抽所發生、所提供的SSR期望值為:\(p*(1-p)^{100}×150=150p(1-p)^{100}\)


除了第1~100抽觸發保底之外,其他是先抽到一張SSR,再來連續99抽,就會觸發保底機制。但這個「先抽到SSR」的來源,可能是本來運氣好就抽到的,也有可能來自觸發保底所抽到的SSR
故上述還需要補上保底機制觸發後又再次觸發保底的狀況:
第1抽~100抽&第101抽~第200抽:\((1-p)^{100}×(1-p)^100=(1-p)^{200}\)
第2抽~101抽&第102抽~第201抽、第3抽~102抽&第103抽~第202抽、......、第51抽~150抽&第151抽~第250抽:\(p*(1-p)^{100}×(1-p)^{100}×50=50p(1-p)^{200}\)

故所求為:
\(250p+(1-p)^{100}+150p(1-p)^{100}+(1-p)^{200}+50p(1-p)^{200}=250p+(1-p)^{100}\left(1+150p+(1-p)^{100}+50p(1-p)^{100}\right)\)

happysad 發表於 2024-8-15 21:39

請教 第二部份第3題,謝謝

thepiano 發表於 2024-8-15 22:41

回覆 15# happysad 的帖子

計算第 3 題
試找出所有函數\(f\):\(R\to R\),滿足\(\forall x,y\in R\),\(f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy\)。
[解答]
x = y = 0 代入,可得 f(0) = 0
x = y = k (k 是實數) 代入,可得 f(k) = k^2
f(x) = x^2

happysad 發表於 2024-8-16 06:30

謝謝大大~~~

[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2024-8-15 22:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26568&ptid=3889][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 3 題
x = y = 0 代入,可得 f(0) = 0
x = y = k (k 是實數) 代入,可得 f(k) = k^2
f(x) = x^2 [/quote]

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver   © 2001-2022 Comsenz Inc.