113花蓮女中
113花蓮女中06/17 17:22 更新題目為含有計算題的
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2024-6-17 17:23 編輯 [/i]] 一、填充題
2.
袋中有編號\(1,2,3,\ldots,50\)的球各一個，今自袋中任取3球，令隨機變數\(X\)表所取出球中號碼之最大值，則\(X\)之期望值\(E(X)=\)[u] [/u]。
袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。
(99屏東女中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659[/url])
3.
設\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)，則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)的餘式為[u] [/u]。
設多項式\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)，則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)所得到的餘式為何？
(A)6 (B)\(5-x\) (C)\(4-x+x^2\) (D)\(3-x+x^2-x^3\)
(94台南縣國中聯招，連結有解答[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770[/url])
4.
設函數\(f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5\)，當數對\((x,y)=\)[u] [/u]時，\(f(x,y)\)有最小值。
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957[/url]
6.
在銳角\(\Delta ABC\)中，若\(sinA=2sinB\cdot sinC\)，則\(tanA\cdot tanB\cdot tanC\)的最小值為[u] [/u]。
百度文章，連結有解答[url]https://zhidao.baidu.com/question/939924552763871492/answer/2537357484.html?&mzl=qb_xg_2&fr=relate&word=&refer_title=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2abc%E4%B8%AD,a&%C2%B2+2abcosC%C2%B2=3b%C2%B2,%E6%B1%82tanAtanBtanC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC[/url]
二、計算證明題
5.
設\(m\)、\(n\)為整數，且\(m\times n\ge 0\)，則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的序對\((m,n)\)有多少組？
(110高中數學能力競賽北一區筆試二，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847[/url]) 老師我想請問第七題 想問第五題～謝謝！！
回覆 4# nico90015 的帖子
第五題化簡得，\((x+\sqrt{2}i)^4=4+4i\)
所以，\(|z+\sqrt{2}i|^4=4\sqrt{2}\)
[[i] 本帖最後由 Jimmy92888 於 2024-6-16 19:58 編輯 [/i]]
回覆 3# kobelian 的帖子
第7題因為\(|n|=7\)
所以\(OA×OB=4n=(24,-8,-12)，OB×OC=2n=(12,-4,-6)，OC×OA=12n=(72,-24,-36)\)
因此，\(
\left|
\begin{array}
{cc}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}
\right|=-12，
\left|
\begin{array}
{cc}
b_1&b_2\\
c_1&c_2
\end{array}
\right|=-6，
\left|
\begin{array}
{cc}
c_1&c_2\\
a_1&a_2
\end{array}
\right|=-36，
\)
所求\(＝(4,5,2)．(-6,-36,-12)＝-228\)
(抱歉，省略向量符號)
[[i] 本帖最後由 Jimmy92888 於 2024-6-16 20:03 編輯 [/i]] 想問老師們計算2.4.6.7，謝謝！！
[[i] 本帖最後由 nico90015 於 2024-6-17 17:55 編輯 [/i]]
回覆 5# Jimmy92888 的帖子
謝謝老師！！ #計算2\( \displaystyle [f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0 推得 f(2022)-g(2022)=0、f(2023)-g(2023)=0\)，
考慮\( h(x)=f(x)-g(x) \)，由題目第一句話可知\( deg(h(x))=deg(f(x)-g(x)) <2 \)，
又\( h(x)=0 有 2022、2023\)等兩根，表示\( h(x)=0 \)。
復比較\(f(x)、g(x) \)係數可得：a+2021=b+c、2021a+1=bc，故 2021(b+c-2021)+1=bc，整理可得(b-2021)(c-2021)=1。
因為b,c,a為整數，故(b,c,a)=(2020,2020,2019)或(2022,2022,2023)。
所以\( f(x)=(x-2019)(x-2021)+1 或f(x)=(x-2023)(x-2021)+1\)，剩下就自己算吧，答案是16或4。
[[i] 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-17 21:09 編輯 [/i]]
回覆 7# nico90015 的帖子
計算第 4 題(1) a = 1，b = 0
(2) a = 2，b = 1
(3) a > 2
2^a ≡ 0 (mod 8)
b 是正奇數，3^b + 1 ≡ 4 (mod 8)
b 是正偶數，3^b + 1 ≡ 2 mod 8)
無解
負整數部分就不寫了
回覆 7# nico90015 的帖子
計算第 6 題n[f(n) - f(n - 1)] = - [f(n - 1) - f(n - 2)]
g(n) = f(n) - f(n - 1)
g(n)/g(n - 1) = -1/n
[g(3)/g(2)][g(4)/g(3)]……[g(n)/g(n - 1)] = (-1)^n * [1/(n!/2)] = (-1)^n * (2/n!)
g(2) = f(2) - f(1) = 1/2
g(n) = (-1)^n * (1/n!)
g(3) = f(3) - f(2) = -1/3!
g(4) = f(4) - f(3) = 1/4!
:
:
g(n) = f(n) - f(n - 1) = (-1)^n * (1/n!)
f(n) = -1/2 - 1/3! + 1/4! - …… + (-1)^n * (1/n!)
回覆 7# nico90015 的帖子
更正計算題第7題設第\(k\)次抽到SSR的機率為\(p_k\)
\(p_1=p_2=...=p_{99}=p\)
\(p_{100}=p+(1-p)^{99}(1-p)=p+(1-p)^{100}\)
\(p_{101}=p+p_1(1-p)^{99}(1-p)=p+p_1(1-p)^{100}\)
\(p_{102}=p+p_2(1-p)^{99}(1-p)=p+p_2(1-p)^{100}\)
...
\(p_{250}=p+p_{150}(1-p)^{99}(1-p)=p+p_{150}(1-p)^{100}\)
因此250次可抽得SSR張數的期望值為
\(p_1+p_2+...+p_{250}\)
\(=250p+[1+p_1+p_2+...+p_{150}](1-p)^{100}\)
\(=250p+[1+p_1+p_2+...+p_{99}](1-p)^{100}+[p_{100}+p_{101}+...+p_{150}](1-p)^{100}\)
\(=250p+[1+99p](1-p)^{100}+[51p+(1+50p)p^{100}](1-p)^{100}\)
\(=250p+(1+150p)(1-p)^{100}+(1+50p)(1-p)^{200}\)
[[i] 本帖最後由 Jimmy92888 於 2024-6-20 23:16 編輯 [/i]] 太太太感謝 swallow7103老師、鋼琴老師、Jimmy92888老師了！！！！！ [quote]原帖由 [i]Jimmy92888[/i] 於 2024-6-18 07:49 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26420&ptid=3889][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
更正計算題第7題
設第\(k\)次抽到SSR的機率為\(p_k\)
\(p_1=p_2=...=p_{99}=p\)
\(p_{100}=p+(1-p)^{99}(1-p)=p+(1-p)^{100}\)
\(p_{101}=p+p_1(1-p)^{99}(1-p)=p+p_1(1-p)^{100}\)
\(p_{102}=p+p_2(1-p)^{99}(1-p) ... [/quote]
漂亮的作法，我也提供一個想法
如果沒有保底機制，則期望值為：\(250p\)
有了保底機制後，就需要補上連續99抽都不是好卡時，第100抽仍不是好卡時，保底機制所提供的一張。
若保底機制是發生在第1~100抽，則提供：\((1-p)^{99}*(1-p)=(1-p)^{100}\)
因為保底機制需要連續抽到爛卡，所以除了第1~100抽之外，其他觸發保底的情況都是先抽到一張SSR，再來連續99抽與不是好卡
故保底機制的完整過程是在第2~101抽、第3~102抽、第4~103抽、......、第151~250抽所發生、所提供的SSR期望值為：\(p*(1-p)^{100}×150=150p(1-p)^{100}\)
除了第1~100抽觸發保底之外，其他是先抽到一張SSR，再來連續99抽，就會觸發保底機制。但這個「先抽到SSR」的來源，可能是本來運氣好就抽到的，也有可能來自觸發保底所抽到的SSR
故上述還需要補上保底機制觸發後又再次觸發保底的狀況：
第1抽~100抽&第101抽~第200抽：\((1-p)^{100}×(1-p)^100=(1-p)^{200}\)
第2抽~101抽&第102抽~第201抽、第3抽~102抽&第103抽~第202抽、......、第51抽~150抽&第151抽~第250抽：\(p*(1-p)^{100}×(1-p)^{100}×50=50p(1-p)^{200}\)
故所求為：
\(250p+(1-p)^{100}+150p(1-p)^{100}+(1-p)^{200}+50p(1-p)^{200}=250p+(1-p)^{100}\left(1+150p+(1-p)^{100}+50p(1-p)^{100}\right)\)
[[i] 本帖最後由 5pn3gp6 於 2024-6-30 00:29 編輯 [/i]] 請教 第二部份第3題，謝謝
回覆 15# happysad 的帖子
計算第 3 題x = y = 0 代入，可得 f(0) = 0
x = y = k (k 是實數) 代入，可得 f(k) = k^2
f(x) = x^2 謝謝大大~~~
[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2024-8-15 22:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26568&ptid=3889][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 3 題
x = y = 0 代入，可得 f(0) = 0
x = y = k (k 是實數) 代入，可得 f(k) = k^2
f(x) = x^2 [/quote]
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