113桃園市高中聯招
2.已知空間中一點\(P(7,1,\sqrt{15})\)，點\(Q\)為\(x\)軸上一動點，點\(R\)為\(y軸上一動點\)，試求三角形\(PQR\)周長的最小值。
我的教甄準備之路 兩根號的極值問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url] 請問 1,4,9,10 第九題
\[(1)原式= \frac{1}{\sqrt{2}ln2} + \frac{1}{\sqrt{3}ln3} + \frac{1}{\sqrt{4}ln4} + \frac{1}{\sqrt{5}ln5}+ ... > \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4} \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{5}}+...
= \frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... ，故級數發散。\]
\[(2)原式 = \frac{7}{7}+\frac{7}{9^2}+\frac{7}{11^3}+\frac{7}{13^4}+... =7(\frac{1}{7}+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{11^3}+\frac{1}{13^4})<7(\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^4}+...)=7*\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{49}{6}，故級數收斂。 \]
後記：有關級數或數列收斂，可以參考大一微積分課本的相關章節，如果對這邊夠熟應該會有體會，雖然有各式各樣的級數審斂法(Integral test、root test、ratio test...)，但原理仍是積分或等比級數。大致上可分兩類：交錯級數和非交錯級數。如果是交錯級數，只要每一項絕對值遞減且趨近於零，就會收斂。非交錯級數(假設每一項都是正數)，只要能找到一個收斂的積分或等比級數把原式bound住，就會收斂；反之若能找到一個被原式bound的發散積分或等比級數，那就發散。
[[i] 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-4 09:49 編輯 [/i]]
回覆 3# CYC 的帖子
第 1 題sin7θ = -64(sinθ)^7 + 112(sinθ)^5 - 56(sinθ)^3 + 7sinθ
以 sin(2π/7)、sin(4π/7)、sin(6π/7)、sin(8π/7)、sin(10π/7)、sin(12π/7) 為六根的方程式為
-64x^6 + 112x^4 - 56x^2 + 7 = 0
所求 = (-56)/(-64) = 7/8
回覆 3# CYC 的帖子
第 4 題先選 1 直行或 1 橫列，有 8 種選法，再從剩下的 12 格中挑 4 格，有 C(12，4) 種方法
所求 = 8 * C(12，4) / C(16，8) 謝謝鋼琴老師、swallow7103老師回覆
回覆 2# bugmens 的帖子
想問這題我圖形畫出來感覺有誤 113桃聯3
回覆 10# thepiano 的帖子
填充 2. 我的作法也一樣，但做完發現線段 \( \overline{C'D'} \) 不過第一象限共線時，在 \( \overline{C'D'} \) 上，點的順序為 \( C', B, A, D' \)
此時 \( \overline{C'A} + \overline{AB} + \overline{BD'} = \overline{C'D'} + \overline{AB} \)
不會等於 \( \overline{C'D'} \)
猜測是 \( a=b=0 \) 時，是下確界 \( 2\sqrt{65} \)
題意要求三角形，若猜測是對，此題最小值不存在。
回覆 11# tsusy 的帖子
感謝寸絲老師指正，做的時候，沒發現 CD 不過第一象限不過 C’A + AB + BD’ = C’D’ + 2AB 想請問10、11
回覆 12# Hawlee 的帖子
第 11 題若一週 7 天，每天依序吃 7、1、1、1、1、1、1 片餅乾
這樣有 “連續” 若干天中，小明恰吃了 7 片餅乾嗎？
若有算
設前 n 天吃的餅乾數為 S_n
1 ≦ S_1 < S_2 < S_3 < S_4 < S_5 < S_6 < S_7 ≦ 13
若 S_1 ~ S_7 中有一個為 7，得證
若 S_1 ~ S_7 中沒有 7，這七個數除以 7 的餘數必為 1 ～ 6 其中之一
由鴿籠原理，其中必有兩數除以 7 的餘數相同，得證
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-6-7 22:46 編輯 [/i]]
回覆6# thepiano 的帖子
請問鋼琴老師，為什麼可以不用考慮X=1,2的情況來計算期望值呢？回覆 14# idsharon 的帖子
先計算直行或橫列的總數，再除以個數，就是平均，也就是期望值這樣做已同時計入您說的兩種狀況
回覆 15# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師回覆 5# thepiano 的帖子
想請教老師…關於方程式，只能用和角公式慢慢換嗎？
回覆 17# iamagine 的帖子
我自己是考慮e^i7x的虛部來計算，老師可以試試回覆 18# Wei 的帖子
謝謝Wei老師頁:
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