113高雄聯招
想請問 老師 4 14 15 16 9.若\(\vec{a}=(-2,2,1),\vec{b}=(1,3,2),\vec{c}=(-2,3,1)\)，則當\(|\;\vec{a}-s\vec{b}-t\vec{c}|\;\)有最小值時，\((s,t)=\)[u] [/u]。
設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為[u] [/u]。
(102北一女中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=2#pid7735[/url])
另解，看成點到平面的距離[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1568&page=1#pid7734[/url]
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957[/url]
11.
將表示式\((x+y+z)^{2024}+(x-y-z)^{2024}\)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項[u] [/u]。
連結有解答[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2006_AMC_12A_Problems/Problem_24[/url]
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262[/url]
12.
設\(a,b\)皆表實數，且滿足\(\displaystyle sin a+sin b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\displaystyle cos a+cos b=\frac{\sqrt{6}}{2}\)，則\(sin(a+b)\)之值為多少[u] [/u]。
(96年度中山大學雙週一題，連結有解答[url]https://math.pro/db/thread-482-1-1.html[/url])
16.
箱中有編號1號到7號的7顆大小相同的球，每次從箱中任取一球，再放回箱中，重複取球\(n\)次，並記錄這\(n\)次取球的數字總和為\(S_n\)，假設\(S_n\)除以3餘1的機率為\(P_n\)，試求出\(P_n\)(以\(n\)表示)[u] [/u]。
不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\(P(n)\)表示前次取球的編號之總和為偶數的機率。求\(P(n)\)？(以\(n\)表示)。
(99鳳新高中，連結有解答[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089[/url])
回覆 1# kobelian 的帖子
第 4 題1 + 1/x = [x/(x + 1)]^(-1) = [1 - 1/(x + 1)]^(-1) = [1 + 1/-(x + 1)]^(-1)
(1 + 1/x)^(x + 1) = [1 + 1/-(x + 1)]^[-(x + 1)]
-(x + 1) = 2024
x = -2025
回覆 1# kobelian 的帖子
第 14 題2 * [(a_1 + 1)/a_1] * [(a_1 + 2)/(a_1 + 1)] * … * [(a_1 + n)/(a_1 + n - 1)] = n
2 * (1 + n/a_1) = n
n = 2/(1 - 2/a_1)
a_1 = 3 時，n 有最大值 6
所求 = 3 + 4 + … + 8 = 33
回覆 1# kobelian 的帖子
第 15 題z 在射線 y = -(x + 3) (x < -3) 上
|z - 3i| + |z + 6| = z 到 (0，3) 與到 (-6、0) 距離和
最小值 = √(6^2 + 3^2) = 3√5
所求 = √5/15
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-26 13:56 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]kobelian[/i] 於 2024-5-26 10:55 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26263&ptid=3877][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問 老師 4 14 15 16 [/quote]
#16
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-26 21:28 編輯 [/i]]
回覆 1# kobelian 的帖子
#10仿102數B統測試題
教甄也放統測試題了
不過這題也是當年最難之一
當年102數B只有12個100分
全國平均37點多,探低點
可別以為最低
隔年103數B全國平均掉到34點多
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-26 19:52 編輯 [/i]] 填充16 想請問第6和13題
回覆 9# idsharon 的帖子
第 6 題x + my = 0，過定點 A(0，0)
mx - y - m + 3 = 0，過定點 B(1，3)
易知兩直線垂直
PA^2 + PB^2 = AB^2 = 10
√(PA^2 * PB^2) ≦ (PA^2 + PB^2)/2
PA * PB ≦ 5
第 13 題
令 EF = x，CE = xcosθ
∠DEF = ∠DBE = 60 度
∠BDE = ∠FEC = θ
由正弦定理
BE/sinθ = DE/sin60度
BE = (2/√3)xsinθ
xcosθ + (2/√3)xsinθ = 1
x = 1/[cosθ + (2/√3)sinθ] = √3/(2sinθ + √3cosθ] = √3/[√7sin(θ + α)]
當 sin(θ + α) = π/2 時，x 有最小值
此時 sinθ = cosα = 2/√7
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-27 17:52 編輯 [/i]]
回覆 8# peter0210 的帖子
第16題好漂亮的解法回覆 10# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師第三題
請教第三題最大值怎麼求？回覆 13# jerryborg123 的帖子
(解一)由\( x+y+z=3 \)可得\( x+y=3-z \)，是故目標函數可改寫為\( x+y-2z=3-3z \)，因此專注在\( z \)的最大最小值上。
再來就老梗了，移項->柯西不等式->多項式不等式。
由\( x+y=3-z、x^2+y^2=9-z^2 \)可得\( (x^2+y^2)(1^2+1^2) \ge (x+y)^2 \)，因此\( (9-z^2)(2) \ge (3-z)^2 \)
化簡得 \( 0 \ge z^2-2z-3\)，即\( 0\ge (z+1)(z-3) \)，故z的最大值為3，最小值-1，因此所求最大值為6，最小值為-6
(解二) Lagrange multiplier
定義 \[ \nabla f=(\partial_x f,\partial_y f,\partial_z f) \]。
設\( f(x,y,z)=x+y+z-3、g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9、h(x,y,z)=x+y-2z \)。因為h函數的極值會發生在邊界上，所以我們會有\( \nabla h=\alpha \nabla f+ \beta \nabla g\)
可以得到\[ \left\{
\begin{array}{c}
\alpha+2\beta x=1 \\
\alpha+2\beta y=1\\
\alpha+2\beta z=-2
\end{array}
\right.\]
三式相加再搭配邊界條件\( x+y+z=3 \)，可得\( 0=3\alpha +2\beta (x+y+z) \)，即\( \alpha=-2\beta \)，是故
\[ x=\frac{\alpha-1}{\alpha}、y=\frac{\alpha-1}{\alpha}、z=\frac{\alpha+2}{\alpha} \]
代入另一個邊界條件\( x^2+y^2+z^2=9 \)，(計算過程懶得打了)，可得\( \alpha = 1 or -1\)。
當 \( \alpha=1 \) 時\(x=0,y=0,z=3 \)，目標函數有最小值 \( h(0,0,3)=-6 \)。
當 \( \alpha=-1 \) 時\(x=2,y=2,z=-1 \)，目標函數有最大值 \( h(2,2,-1)=6 \)。
[[i] 本帖最後由 swallow7103 於 2024-5-28 22:48 編輯 [/i]]
回覆 13# jerryborg123 的帖子
第 3 題y = 3 - x - z
x^2 + (3 - x - z)^2 + z^2 = 9
x^2 + (z - 3)x + (z^2 - 3z) = 0
(z - 3)^2 - 4(z^2 - 3z) ≧ 0
-1 ≦ z ≦ 3
-6 ≦ x + y - 2z = 3 - 3z ≦ 6
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-28 22:19 編輯 [/i]] 謝謝兩位老師解惑
我原本的作法是球與平面的的交圓上找z最大、最小值。其中找最小值時計算卡住，我再試試看此法解下去能否成功。(
(更新)
其實計算很簡單，三頂點A(3,0,0) B(0,3,0) C(0,0,3) 重心G(1,1,1) z最小值出現在P(2,2,-1) ( G為AP中點 )
[[i] 本帖最後由 jerryborg123 於 2024-5-28 23:15 編輯 [/i]]
回覆 14# swallow7103 的帖子
我是建議考雄聯這種計算題不要用拉格朗日算子超出高中範圍解法,不知道會不會給分?
而且殺雞焉用牛刀
回覆 16# jerryborg123 的帖子
你的做法有點像線性規劃的平行線法，極值會出現在邊界上。不過在空間裡面，可能要有十足的想像力才有辦法解出了，而且還要想怎麼在答案卷上呈現，
迫於時間壓力不大可能選這條路。
回橢圓大大，我只是想多列幾種方法供大家欣賞，考試時通常時間緊迫，能解出來的都是好方法。
至於會不會給分？真是好問題，我也不知道，哈哈哈...
但是就我寫過的考古題，蠻常出現微積分或線性代數的。 [quote]原帖由 [i]jerryborg123[/i] 於 2024-5-28 22:30 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26295&ptid=3877][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝兩位老師解惑
我原本的作法是球與平面的的交圓上找z最大、最小值。其中找最小值時計算卡住，我再試試看此法解下去能否成功。(
(更新)
其實計算很簡單，三頂點A(3,0,0) B(0,3,0) C(0,0,3) 重心G(1,1,1) z最小值出現 ... [/quote]
若要用交圓方式來做,可以這樣處理:
x+y+z=3 ,x²+y²+z²=9 的交圓方程式為(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=6
由柯西不等式得
[(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²][1²+1²+(-2)²]≧ (x-1+y-1-2z+2)²
6*6≧(x+y-2z)² ,6≧(x+y-2z)≧-6
(M,m)=(6,-6)
註:這題圓盤(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=6 法向量(1,1,1), 跟平面x+y-2z=k的法向量(1,1,-2) 互相垂直
所以圓盤垂直在平面x+y-2z=k上,否則就不能用這樣去解
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-29 08:50 編輯 [/i]]
回覆 8# peter0210 的帖子
可以請問在求x^3k+1係數合那邊的算式，是如何列出來的呢？頁:
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