113南港高中
請教第 9 題回覆 2# Superconan 的帖子
第 9 題(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≧ (a + b)^2
√(a^2 + b^2) ≧ (√2/2)(a + b)
寫出另外二式，相加
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-24 18:34 編輯 [/i]] 1.
求值：\(100C_0^{100}+99C_1^{100}+98C_2^{100}+\ldots+2C_{98}^{100}+C_{99}^{100}\)。
3
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：
牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(106學測)
4.
有一個金字塔，如右圖，其中底面是正方形，四個側面是等腰三角形(\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{AE}\))，設金字塔的側面與底面之夾角為\(\theta\)，且\(\displaystyle tan\theta=\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}\)，又側面與側面的夾角為\(\alpha\)，求\(cos\alpha=\)？(以\(a\)表示)
有一個四角錐，其四個側面均為等腰三角形，且底面邊長為4的正方形，設側面和底面的夾角為\(\alpha\)，側面與側面的夾角為\(\beta\)，已知\(\displaystyle cos\beta=\frac{-1}{4}\)，試求\(cos\alpha=\)[u] [/u]。
(109中壢高中代理，[url]https://math.pro/db/thread-3339-2-1.html[/url])
5.
設\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{3n}\frac{k^2}{3n^3+k^3},n\in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)。
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
8.
在\(\Delta ABC\)中，\(\displaystyle \overline{AB}=10,\overline{AC}=9,cos\angle BAC=\frac{3}{8}\)。設點\(P\)、\(Q\)分別在邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上使得\(\Delta APQ\)之面積為\(\Delta ABC\)面積之一半，則\(\overline{PQ}\)之最小值為？
(98學測)
9.
已知正數\(a,b,c\)滿足\(a+b+c=1\)，試求\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)之最小值。
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，求\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)之最小值為[u] [/u]。
(106新竹高商，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2784&page=1#pid17502[/url])
10.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;,\langle\;b_n\rangle\;\)滿足\(a_0+b_0=2\)，且對每一正整數\(n\)，恆有\(a_n=\sqrt{3}a_{n-1}-b_{n-1}\)，\(b_n=a_{n-1}+\sqrt{3}b_{n+1}\)，則\(a_{18}+b_{18}=\)？
設\(n\in N\)，兩數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)、\(\langle\;b_n\rangle\;\)滿足\(\cases{a_{n+1}=5b_n+2b_{n+1}\cr b_{n+1}=5a_n-2a_{n+1}}\)
(1)試求二階方陣\(A\)，使得\(\left[\matrix{a_{n+1}\cr b_{n+1}}\right]=A\left[\matrix{a_n\cr b_n}\right]\)，\(n\in N\)。
(2)已知\(a_{100}=5^{50}\)，\(b_{100}=3\cdot 5^{50}\)，試求\(a_1\)及\(b_1\)之值。
(101明倫高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1410&page=2#pid8923[/url])
11.
坐標平面上，在以\(O(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0)\)為頂點的正方形(含邊界)內，令\(R\)為滿足下述條件的點\(P(x,y)\)所成區域：
與點\(P(x,y)\)的距離為\(|\;x-y|\;\)之所有點所成圖形完全落在正方形\(OABC\)(含邊界)內。則區域\(R\)的面積為何？
(113學測數學A)
12.
如右圖，一個球在任一點每一秒向鄰近點移動或不動的機率都相等(即在\(A\)點時向\(B\)，\(D\)，\(E\)或留在\(A\)的機率都是\(\displaystyle \frac{1}{4}\))，現在現在先把球放在\(E\)點
(1)經過2秒，求仍然留在\(E\)的機率為何？
(2)設\(f(n)\)表示經過\(n\)秒後球仍然留在\(E\)點的機率，若\(f(n+1)=xf(n)+y\)，其中\(x\)，\(y\)為定數與\(n\)無關，試求數對\((x,y)\)。 想請教第二及第七題，謝謝！ [quote]原帖由 [i]joiuk123[/i] 於 2024-5-26 11:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26266&ptid=3876][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教第二及第七題，謝謝！ [/quote]
#7
令∠BAI=∠CAI=θ ,點I到線段AB距離=點I到線段AC距離=h
利用三角形面積公式得h=24/11
且cos(2θ)=(5²+6²-5²)/(2*5*6)=3/5
則sinθ=1/√5
所求線段AI=h/sinθ=24√5/11
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-26 17:50 編輯 [/i]] 第二題
任意實數均能表示成tanx，-90＜=x<=90
將-90至90以30度為一個區間，分割成六個區間，則任七個數，必有兩個數在同一個區間，故此兩數夾角必小於等於30度 想請問第六題?
回覆 8# Hawlee 的帖子
第 6 題把平面 EBCH 摺起，讓它和平面 EBA 共平面
設 H 摺到 H'，連 AH' 交 EB 於 M
此時 AM + MH 有最小值 AH' = √(EA^2 + EH'^2 - 2 * EA * EH' * cos∠AEH')
= √(2 + √2) 整理了南港高中解答 供參考
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