113中崙高中
8.如圖，\(\Delta ABC\)為直角三角形，其中\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}=36\)，而\(\overline{BC}\)上的中線為：\(x+2y=0\)，\(\overline{AC}\)上的中線為：\(x+y=0\)，求\(\Delta ABC\)的面積。
令三角形\(ABC\)為在\(xy\)平面上的直角三角形，其中\(\angle C\)為直角。給定斜邊\(AB\)的長度為60，且穿過\(A\)與\(B\)的中線分別為\(y=x+3\)與\(y=2x+4\)，試求三角形\(ABC\)的面積。
(102年度第2學期中山大學雙週一題，[url]https://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2ans.pdf[/url])
9.
已知\(\displaystyle a_0=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle a_n=(\frac{1+a_{n-1}}{2})^{\frac{1}{2}}\)，\(\forall n\in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n \cdot (1-a_n)\)。
設\(\cases{\displaystyle a_0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cr a_n=\left(\frac{1+a_{n-1}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n(1-a_n)\)的值為[u] [/u]。
(111竹北高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3629&page=1#pid23927[/url])
12.
設\(f(x)\)為一實值函數，且滿足\(\displaystyle f(x)-2f(\frac{1}{x})-\frac{3}{x}=0\)，求\([f(x)]^2\)的最小值。
函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{1+x+x^2}{x}\)，試求\(\displaystyle \sum_{k=2}^{100}f(k)=\)？
(101台南二中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5275[/url]) 填充2
小崙從集合\(S=\{\;1,2,3,4,5,6,7,8 \}\;\)中選取5個子集合\(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\)。已知\(n(A_1)=1\)、\(n(A_2)=2\)、\(n(A_3)=3\)、\(n(A_4)=4\)、\(n(A_5)=5\)，若對於\(1\le i<j\le 5\)，必須滿足「\(A_i \bigcap A_j=∅\)或\(A_i\subset A_j\)，請問小崙有[u] [/u]種選取方式？
[解答] 想請問4、5、7
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第 5 題已知兩複數\(z,w\)滿足\(\displaystyle z+w=z^2+w^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}i\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。則\(|\;Re(z)|\;=\)[u] [/u]。
[解答]
z = a + (√3/3 + b)i，w = -a + (√3/3 - b)i，a 和 b 為實數
z^2 + w^2 = (2a^2 - 2b^2 - 2/3) + 4abi = (2√3/3)i
a^2 - b^2 = 1/3
b = √3/(6a)
可解出 a^2 = 1/2
|a| = √2/2
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第 7 題平面上有一定點\(A(-3,3)\)及一圓\(C\)：\(x^2+y^2-4x-4y+k=0\)，若光源由\(A\)點射出，碰到\(x\)軸上\(P\)、\(Q\)兩點形成的兩條反射光線恰好與圓\(C\)相切，且\(\displaystyle \overline{PQ}=\frac{7}{4}\)，求\(k\)之值。
[解答]
A 關於 x 軸的對稱點 A'(-3，-3)
直線 A'P 與 A'Q 與圓 C：(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 - k 相切
直線 A'P：mx - y + 3m - 3 = 0，直線 A'Q：y = nx - y + 3n - 3 = 0，其中 n > m > 0
P(3/m - 3，0)、Q(3/n - 3，0)
PQ = 3/m - 3/n = 7/4
C(2，2) 到直線 A'P 與 A'Q 的距離相等
|5m - 5|/√(m^2 + 1) = |5n - 5|/√(n^2 + 1)
(m - 1)^2/(m^2 + 1) = (n - 1)^2/(n^2 + 1)
mn = 1
3/m - 3/n = 7/4
mn = 1
可解出 m = 3/4，n = 4/3
8 - k = (5m - 5)^2/(m^2 + 1) = 1
k = 7
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第 4 題已知曲線\(x^2+2xy+2y^2-2x-2y=0\)恰與圓\(x^2+y^2=1\)交於兩點。其中一個交點為\((0,1)\)，則另一交點的坐標為[u] [/u]。
[解答]
x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0
x^2 + y^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
1 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
2x(y - 1) + (y - 1)^2 = 0
(y - 1)(2x + y - 1) = 0
y = 1 or y = 1 - 2x
(1) y = 1，x = 0
(2) y = 1 - 2x，x^2 + (1 - 2x)^2 = 1
x = 4/5，y = -3/5 想請教一下 填充10 謝謝 [quote]原帖由 [i]zj0209[/i] 於 2024-6-12 20:27 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26376&ptid=3873][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教一下 填充10 謝謝 [/quote]
#10
設\(\alpha,\beta\)為方程式：\(3sin2x+4cos2x=1\)的二根，求\(sin2(\alpha+\beta)\)之值。
[解答]
(題目要先講α,β為相異兩根,且為不同象限角)
3sin(2α)+4cos(2α)=1
sin(2α+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
同理sin(2β+θ)=1/5 ,其中sinθ=4/5,cosθ=3/5
所以(2α+θ)+(2β+θ)=π+2kπ(k∈ℤ)
所求
=sin(2α+2β)=sin(π+2kπ-2θ)
=sin(2θ)=2sinθ*cosθ=2*(4/5)*(3/5)=24/25 謝謝橢圓老師 [quote]原帖由 [i]zj0209[/i] 於 2024-6-13 12:15 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26378&ptid=3873][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝橢圓老師 [/quote]
不客氣,這題題意不清楚,應該要送分
第7題
平面上有一定點\(A(-3,3)\)及一圓\(C\)：\(x^2+y^2-4x-4y+k=0\)，若光源由\(A\)點射出，碰到\(x\)軸上\(P\)、\(Q\)兩點形成的兩條反射光線恰好與圓\(C\)相切，且\(\displaystyle \overline{PQ}=\frac{7}{4}\)，求\(k\)之值。[解答]
這樣比較好算一點
[attach]7150[/attach]
第10題
設\(\alpha,\beta\)為方程式：\(3sin2x+4cos2x=1\)的二根，求\(sin2(\alpha+\beta)\)之值。[解答]
僅供參考[attach]7151[/attach] [quote]原帖由 [i]chu[/i] 於 2024-6-13 21:22 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26381&ptid=3873][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
僅供參考7151 [/quote]
#10
Chu老師用的根與係數方法
還是把α,β視為相異兩根,且為不同象限角
不然此題就不能只有這樣解了 想請教填充11，謝謝各位老師們。
回覆 15# aizin 的帖子
第 11 題小明給阿花7顆巧克力當禮物，然後小明跟阿花說：「你每天至少要吃一顆巧克力，表示你有想念我，當然你要一次吃好多顆也可以喔。」設隨機變數\(X\)代表阿花吃完巧克力的天數，\(X=1,2,\ldots,7\)，求期望(E(X)\)。
[解答]
1 天吃完：1 種情形
2 天吃完：H(2，5) = 6 種情形
3 天吃完：H(3，4) = 15 種情形
4 天吃完：H(4，3) = 20 種情形
5 天吃完：H(5，2) = 15 種情形
6 天吃完：H(6，1) = 6 種情形
7 天吃完：1 種情形
以上共 64 種情形
所求 = (1 * 1 + 2 * 6 + 3 * 15 + 4 * 20 + 5 * 15 + 6 * 6 + 7 * 1)/64 = 4 謝謝鋼琴老師 請教填充第 3 題
回覆 18# Superconan 的帖子
第3題：已知 \(x, y\) 均為非負整數。若方程式 \(3x+2y=n\) 恰有 \(24\) 組解，則所有 \(n\) 的可能值的總和為________。
解：
因為方程式 \(3x+2y=n\) 有一組顯然的特殊解 \((x,y) = (n, -n)\)，
所以有通解 \((x,y) = (n - 2t, -n + 3t)\)，其中 \(t\) 為整數。
又 \(x, y\) 均為非負整數，
所以 \(n - 2t\geq 0\) 且 \(-n + 3t \geq 0\)，
得 \(\displaystyle \frac{n}{3}\leq t \leq \frac{n}{2}\) 。
因此 區間 \(\displaystyle [\frac{n}{3},\frac{n}{2}]\)須包含 \(24\) 個整數 \(t\)，
（由於區間長度 \(\displaystyle \frac{n}{2}-\frac{n}{3}= \frac{n}{6}\) ，
所以心中想著大概是 \(23\leq\frac{n}{6}<25\)，
不過邊界的 \(n\) 要小心逐一檢查比較安心！）
得 \(n = 138, 140, 141, 142, 143, 145\)。
所有 \(n\) 的可能值的總和為 \(138+140+141+142+143+145 = 849\)。
回覆 3# peter0210 的帖子
老師您好，請問A1的C(2,1)+6的意思是什麼 謝謝頁:
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