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ben1006123 發表於 2024-5-15 15:54

110成功大學個人申請

想問第三題

113.10.25補充
成功大學個人申請歷屆試題[url]https://math.ncku.edu.tw/p/412-1221-30817.php?Lang=zh-tw[/url]

thepiano 發表於 2024-5-15 22:07

回覆 1# ben1006123 的帖子

第 3 題
令\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}+cosx+cos(2x)+\ldots+cos(10x)\)。
(a)試證明\(f(x)=\frac{\displaystyle sin\left(\frac{21x}{2}\right)}{\displaystyle 2sin\left(\frac{x}{2}\right)}\)。
提示：用\(z=cosx+isinx\)將\(cosx\)表示成\(\displaystyle cosx=\frac{z+\overline{z}}{2}\)。
(b)在滿足\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le \pi\)的條件下，試求出方程式\(f(x)=0\)解的個數。
[解答]
(a) z = cosx + isinx = e^(ix)

令
s = 1 + cosx + cos(2x) + ... + cos(10x)
t = 1 + sinx + sin(2x) + ... + sin(10x)

s + it = 1 + e^(ix) + e^(i2x) + ... + e^(i10x)
= [1 - e^(i11x)]/[1 - e^(ix)]
= {[1 - e^(i11x)][1 - e^(-ix)]}/{[1 - e^(ix)][1 - e^(-ix)]}
= [1 - e^(-ix) - e^(i11x) + e^(i10x)]/(2 - 2cosx)

s = 1 + cosx + cos(2x) + ... + cos(10x)
= [1 - cosx - cos(11x) + cos(10x)]/(2 - 2cosx)
= (1/2) - [cos(11x) - cos(10x)]/(2 - 2cosx)
= (1/2) + [2sin(21x/2)sin(x/2)]/4[sin(x/2)]^2
= (1/2) + sin(21x/2)/[2sin(x/2)]

f(x) = s - 1/2 = sin(21x/2)/[2sin(x/2)]


(b) π/2 ≦ x ≦ π
5.25π ≦ (21/2)x ≦ 10.5π
sin(21x/2) = 0，有 5 個解

ben1006123 發表於 2024-5-16 07:42

回覆 2# thepiano 的帖子

理解了，謝謝鋼琴老師。

farmer 發表於 2024-5-18 00:05

第9題題目出錯

實際染病率=p×95%+(1-p)×2%
不可能是1%

ben1006123 發表於 2024-5-18 03:39

回覆 4# farmer 的帖子

那個1%是題目拿來騙人的，題目寫說是發病率，指的是染了病且有1%機率會發病，並非是染病率。

farmer 發表於 2024-5-22 11:52

回覆 5# ben1006123 的帖子

不是喔，
你仔細看題目，
發生率就是染病率的意思。
一個簡單確認的方法：
依你對題目的理解，
請你把這道題做一下，
將解法呈現出來檢視看看。
（成大112年也有題目出錯，
而且還是證明題，要證明的東西是錯的...）

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