113台北市立陽明高中
想問第7題 與 17題 還有第 12題 13題 謝謝老師回覆 1# kobelian 的帖子
第 7 題假設袋中有15顆球，其中4顆紅球、1顆白球、10顆黃球。規定一次只能抽一球且不放回去，現在依甲先乙後的順序分別抽球一次，但當抽到的球是白球時，則須馬上再補抽一球。問甲有抽中紅球且乙也有抽中紅球的機率為[u] [/u]
[解答]
分三種情況
(1) 甲紅，乙紅
(2) 甲紅，乙先白後紅
(3) 甲先白後紅，乙紅
回覆 1# kobelian 的帖子
第 17 題已知\(\displaystyle cos^{-1}x=cos^{-1}\frac{1}{2}+cos^{-1}\frac{1}{7}\)，求\(x=\)[u] [/u]
[解答]
O(0，0)、A(1，0)、B(0，√3)
作 角ABC = 90 度，AC = 14，BC = √192
作 CD 垂直 直線 OA 於 D
AD = a，CD = b，D(a + 1，0)、C(a + 1，b)
a^2 + b^2 = 14^2
(a + 1)^2 + (b - √3)^2 = 192
可解出 a = 11，b = 5√3
x = -a/14 = -11/14 1.
\( \displaystyle 1 \times (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100})+3 \times (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{99}+\frac{1}{100}) \)
\( \displaystyle +5 \times (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \frac{1}{99}+\frac{1}{100})+\ldots+197 \times (\frac{1}{99}+\frac{1}{100})+199 \times \frac{1}{100}= \)[u] [/u]
連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317[/url]
2.
\(\displaystyle y=f(x)=\sum_{k=1}^{2024}x(x-k)\)，當實數\(x=\)[u] [/u]時，\(y\)有最小值？
3.
有十個數\( a,b,c,d,e,f,8,11,12,17\)。若此十個數的平均值和\( a,b,c,d,e,f\)六個數的平均值相等，且這兩組數的變異數也相等，則此變異數為[u] [/u]。
(95台灣師大數學系推薦甄選入學指定項目甄試試題，連結有解答[url]https://www.ltedu.com.tw/Web/Upload/Upload_File/Source13/math003.pdf[/url])
4.
設\(f(n)\)表示正整數\(n\)之最大奇因數，例如\(f(3)=3\)、\(f(10)=5\)，則\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(50)=\)[u] [/u]
若\(g(n)\)表示正整數\(n\)的奇因數中最大者，例如：\(g(3)=3,g(14)=7\)。求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n}g(k)=g(1)+g(2)+g(3)+\ldots+g(2^n)=\)
(110新竹高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3493&page=4#pid22411[/url])
6.
若\(x\)、\(y\)是實數且滿足\(2x^2+5y^2=7x\)，求\(18x+10y^2\)的最大可能值為[u] [/u]。
設\(f(x,y)=2x+5y^2\)，試求在\(x^2+2y^2=1\)的限制下，\(f(x,y)\)的最小值。
(100新北市高中聯招，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1114&page=2#pid3574[/url])
7.
假設袋中有15顆球，其中4顆紅球、1顆白球、10顆黃球。規定一次只能抽一球且不放回去，現在依甲先乙後的順序分別抽球一次，但當抽到的球是白球時，則須馬上再補抽一球。問甲有抽中紅球且乙也有抽中紅球的機率為[u] [/u]。
(106松山工農，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2794&page=2#pid17599[/url])
另解[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2794&page=2#pid17602[/url]
8.
將一些正方形用如右圖一樣方式填滿一個矩形盒子，則稱這些正方形可以被組裝成一個「鋸齒狀矩形」；右圖恰為一個\(6\times 4\)的鋸齒狀矩形，它是由39個大小相同的正方形所構成的。則一個\(9\times 7\)的鋸齒狀矩形內有[u] [/u]個這樣的正方形。
(2005年青少年數學國際城市邀請賽 個人數學競賽試題，[url]http://www.chiuchang.org.tw/download/iwymic/iym2005a.pdf[/url])
10.
以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有[u] [/u]個
連結有解答[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=340[/url]
11.
連接正八面體每一面中心點，會得到一正六面體。試求此正六面體體積：原正八面體體積之比值為[u] [/u]。
相關問題
若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設八面體的體積為\(a\)，正立方體的體積為\(b\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b}=\)[u] [/u]。(以最簡分數表示)
(110竹北高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3500&page=2#pid22566[/url])
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=6513&k=0e2befcacb76b450e0223ecc39b792ed&t=1715173896&noupdate=yes[/img]
12.
將長度為\(l\)之線段任意分為三段，則三段相接能構成一個三角形之機率為[u] [/u]。
連結有解答[url]https://blog.csdn.net/wangche320/article/details/9270575[/url]
在區間(0,1)當中，隨機任選兩個相異點x和y，即可將此區間分成長度各為a,b和c的三個子區間。已知每一個序對(a,b,c)出現的機率均等，試問a,b和c可以作為一個三角形的三邊長的機率為何？
(100台中區複賽試題二試題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1349&page=1#pid7179[/url])
14.
如右圖，圓與正三角形\(\Delta ABC\)的三邊交出6個點，如果\(\overline{AG}=2\)、\(\overline{GF}=13\)、\(\overline{FC}=1\)、\(\overline{HI}=7\)，試求\(\overline{DE}=\)[u] [/u]。
如圖(三)，一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點，若\(\overline{CF}=1\)，\(\overline{FG}=13\)，\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{HI}=7\)，則\(\overline{DE}=\)[u] [/u]。
(100麗山高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=2#pid4204[/url])
20.
\(xy\)平面上有兩點\(A(-2,1)\)、\(B(-5,0)\)，設\(P\)點在\(x\)軸上移動，則\(\displaystyle \frac{\overline{PB}}{\overline{PA}}\)之比值有最大值時的\(P\)點坐標為何？
在空間坐標系中有兩定點 \(A(3,0,0), B(11,4,3)\)，點\(P\)在\(x\)軸上變動, 求 \(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}\) 的最大值？
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2702&page=1#pid16623[/url] [quote]原帖由 [i]kobelian[/i] 於 2024-5-8 16:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26116&ptid=3864][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想問第7題 與 17題 [/quote]
17.
已知\(\displaystyle cos^{-1}x=cos^{-1}\frac{1}{2}+cos^{-1}\frac{1}{7}\)，求\(x=\)[u] [/u]
[解答]
令cos^(-1) (1/2)=θ1, cos^(-1) (1/7)=θ2 (θ1,θ2在第一象限)
則cos(θ1)=1/2 , sin(θ1)=(√3)/2
cos(θ2)=1/7 , sin(θ2)=(4√3)/7
且x=cos(θ1+θ2)=cosθ1*cosθ2-sinθ1*sinθ2
=(1/2)*(1/7)- [(√3)/2]*[(4√3)/7)]= -11/14
回覆 1# kobelian 的帖子
請問老師 第 13題 13.設\(\Delta ABC\)的三邊長\(\overline{AB}=c\)、\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)，且\(\displaystyle |\;b-c|\;cos \frac{A}{2}=5\)、\(\displaystyle (b+c)sin\frac{A}{2}=10\)，則\(a\)之值為[u] [/u]
[解答]
第一式平方+第二式平方
b^2+c^2-2bc[cos^2(A/2)-sin^2(A/2)]=125
b^2+c^2-2bc*cosA= a^2 = 125
a = 5*5^0.5
回覆 7# Ellipse 的帖子
謝謝老師頁:
[1]