113南港高工
一、填充題1.
若整數\(n\)可使\(\displaystyle \frac{n^3+2024}{n+11}\)亦為整數，則\(n\)的最大值為[u] [/u]。
求最大的整數\(n\)使得\(\displaystyle \frac{n^3+108}{n+11}\)也是整數，\(n=\)[u] [/u]。
(108麗山高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=5#pid19741[/url])
2.
平面上，在一個正方形內部(含邊界)放入6個邊長為1的正三角形，使得這6個正三角形的內部區域彼此互不重疊，則此正方形的邊長最小值為[u] [/u]。
[img]https://erich-friedman.github.io/packing/triinsqu/t6.gif[/img]
\(\displaystyle s=\frac{9}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=1.901+\)
Found by Erich Friedman in 1996.
[url]https://erich-friedman.github.io/packing/triinsqu/[/url]
6.
設二次函數\(y=x^2-6x+5\)的圖形交\(x\)軸於\(A\)、\(B\)兩點，\(P\)是直線\(x+y=−4\)上的動點。當\(\angle APB\)有最大值時，\(\Delta ABP\)的外心坐標為[u] [/u]。
[解答]
在l：\( x+y-5=0 \)上找一點\( P(x,y) \)，使得點\( P(x,y) \)對\( A(1,0) \)，\( B(3,0) \)的夾角\( ∠APB為最大時 \)，P點坐標為何？(其中\( P \in \)第一象限)
(99中壢高中二招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2442[/url])
最大視角相關題目[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=978&page=1#pid2307[/url]
[attach]7065[/attach]
設\(A(1,0),B(5,0),C(-4,0)\)
當過\(A,B\)兩點且和\(x+y=-4\)相切於\(P\)點的圓時，\(\angle APB\)有最大值(最大視角)
圓冪定理可知\(\overline{CP}^2=\overline{CA}\cdot \overline{CB}=5\times 9\)，\(\overline{CP}=3\sqrt{5}\)，\(\displaystyle P(-4+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}},-\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\)
過\(P\)點且和\(x+y=-4\)垂直的直線方程式為\(\displaystyle x-y=-4+\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)
\(\Delta ABP\)的外心坐標為\(\cases{\displaystyle x=3 \cr x-y=-4+\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}\)的交點\(O(3,7-3\sqrt{10})\)
二、計算、證明與論述題
3.
在數學「直線與圓」單元中提到，坐標平面上一點\(P(m,n)\)到直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)的距離\(\displaystyle d(P,L)=\left|\frac{am+bn+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|\)。請回答下列問題：
(1)請以高職一年級學生的先備知識為基礎證明上式。
(2)現有一道問題「求平面上一點\(P(1,2)\)到直線\(L\)：\(x+y=-3\)的距離。」除了使用「點到直線的距離」公式之外，請你另寫出2種給高職二年級學生的解答。
點到直線的13種證明方法[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183[/url]
回覆 1# bugmens 的帖子
請問老師5，6，7，8 5.估計題目印刷錯誤...不然最小值應該是0，該答案為等於3的情形最大值柯西: (x^2+y^2)(5^2+4^2)>=(5x+4y)^2
7.首尾獨立機率10/14,中間四項(10/14)^2
=>2*(10/14)+4*(10/14)^2 [quote]原帖由 [i]kobelian[/i] 於 2024-5-7 18:40 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26111&ptid=3863][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問老師5，6，7，8 [/quote]
#8
"高工"男生比女生多?
假設全校男生x人,女生y人 (x>y)
則C(x,2) / C(x+y,2)=1/2
x(x-1)/[(x+y)(x+y-1)] =1/2
整理得x² +(-2y-1)x+(y-y²)=0
x=[(2y+1)+√(8y²+1)]/2 --------------(*1)
( x=[(2y+1)-√(8y²+1)]/2 不合)
令k=√(8y²+1) , k²-8y²=1--------(*2)
由Pell's equation知,kn的通解為[(3+√8)^n+(3-√8)^n]/2
所以(k1,y1)=(3, 1) ,(k2,y2)=(17, 6) ,(k3,y3)=(99,35) ,(k4,y4)=(577,204),(k5,y5)=(3363,1189).....代入(*1)
因為100≦ x=[(2y+1)+k]/2 ≦1000 ,僅(k4,y4)=(577,204)此組符合
所求x=(2*204+1+577)/2=493
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-8 23:13 編輯 [/i]]
回覆 4# cut6997 的帖子
想請問＃7. 為什麼只有首尾獨立機率10/14,中間四項(10/14)^2 =>2*(10/14)+4*(10/14)^2，沒有其他可能呢？謝謝你 想請問計算第二題的第二小題回覆 7# idsharon 的帖子
計算第 2 題 (2)橫軸 a 軸，縱軸 b 軸
畫出 a >= b > 0，ab = 2 的圖形
位於直線 a = b 的右下方
直線 5a + 4b = k 的斜率 = -5/4 > -1，畫圖可知當它與 ab = 2、a = b 交於點 (√2，√2) 時
5a + 4b 有最小值 9√2
當 b 趨近於 0，a 趨近於無限大
所以取不到最大值
回覆 8# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師，另外想詢問，為什麼此題不能用算幾不等式計算呢？回覆 9# idsharon 的帖子
用算幾的話，等號成立於 5a = 4b此時 a = (4/5)b < b，與題意 a ≧ b 不合
回覆 10# thepiano 的帖子
非常感謝鋼琴老師解惑 整理了南港高工解答 供參頁:
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