113新北市高中聯招
一、填充題1.
空間中有一正三角形，其三頂點投影到\(xy\)平面後，形成邊長為2、3、\(2\sqrt{3}\)的三角形，試求原正三角形的邊長？
一平面上一正三角形\(ABC\)在另一平面的正射影為三角形\(A'B'C'\)，已知\(\Delta A'B'C'\)的三邊長分別為2，3，\(\sqrt{3}\)，求：
(1)正三角形\(ABC\)的一邊長？
(2)兩平面的夾角\(\theta\)，求\(cos\theta=\)？
(93中壢高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/thread-945-1-1.html[/url])
8.
求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^{\frac{1}{n}}\)的值？
Find the limit as \(n \to \infty\)of \(\displaystyle \frac{1}{n}log\left(\frac{(2n)!}{n^nn!}\right)\).
連結有解答，[url]https://math.stackexchange.com/questions/918080/riemann-sum-of-log-function[/url]
收錄在我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
二、計算證明題
2.
已知某三角形的三邊長為三個連續整數，且最大角為最小角的兩倍，求此三角形的外接圓面積？
(1)\(\Delta ABC\)中，\(A\)、\(B\)、\(C\)的邊長依次為\(a\)、\(b\)、\(c\)，如果\(\angle B=2\angle C\)，則\(b^2=c(a+c)\)。試證之。
(2)設上述\(\Delta ABC\)的三邊長為三個連續整數，試求所有滿足此條件的三角形。
(連結有解答，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078[/url])
一、填充題 第2題
剛剛再次算過，發現這題的題意有問題(即容易產生誤解)。答案給的是f自己合成113次，然後再代入x=2024得到的結果。
但我看題目認為是算f微分113次，然後再代入x=2024。 還有填充題第七題,答案疑似沒有考量0進去,答案應該不是公布的結果
回覆 3# aspoercig 的帖子
我這題也以為是微分113次耶，原題沒說明清楚吧？回覆 4# hughnald 的帖子
老師您好，有考量0進去的話答案會是20對嗎回覆 6# mathchen 的帖子
對，我算的答案是20。由小到大排第2023個，因為最小是0，所以以十進位看由小到大的第2023個數是2022，
換算成8進位是3746(即 512*3+64*7+8*4+6)，所以 a=3, b=7, c=4, d=6，
a+b+c+d=20。
我認為公告的21是錯誤的。
回覆 6# mathchen 的帖子
老師您好是的,我算的也是20 填充第 5 題
答案有誤，最大值不存在。
因為等號不會成立，a, b, c 有人是負的。 [quote]原帖由 [i]aspoercig[/i] 於 2024-5-5 18:12 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26066&ptid=3860][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
剛剛再次算過，發現這題的題意有問題(即容易產生誤解)。
答案給的是f自己合成113次，然後再代入x=2024得到的結果。
但我看題目認為是算f微分113次，然後再代入x=2024。 ... [/quote]
題目沒有定義好這個符號,若是看成微分
答案寫2*113! / 2025^114也要給對 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2024-5-5 21:43 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26075&ptid=3860][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 5 題
答案有誤，最大值不存在。
因為等號不會成立，a, b, c 有人是負的。 [/quote]
離譜至極~堂堂一個新北高中聯招,出題品質居然是這樣....
(包括填2,是微分或迭代符號也沒定義好)
出題老師都不會再用數學軟體檢驗過?
麻煩新北高中聯招單位請慎選命題老師
之前也出過一次誇張的狀況
(有一半題目出自某兩三年某幾區高中能力競賽題目)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-5 22:22 編輯 [/i]]
回覆 9# Superconan 的帖子
令所求=x+y+z則
a=(x-y+z)/2
b=(x+y-z)/2
c=(-x+y+z)/2
等號成立時
x=36/11,y=4/11,z=9/11
=>c=-23/22 [quote]原帖由 [i]hughnald[/i] 於 2024-5-5 20:06 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26069&ptid=3860][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
還有填充題第七題,答案疑似沒有考量0進去,答案應該不是公布的結果 [/quote]
第7題就是8進位，\(2022_{10}=3746_8\)
所以\(3+7+4+6=20\)。 大家好～
這次新北聯招好多題有問題耶～
我整理了有問題的題目為 2，3，5，7題
錯題講解影片連結
[url=https://youtu.be/cjLBy5ZSSOs?si=OB-KCQcbEpbDQvlW]https://youtu.be/cjLBy5ZSSOs?si=OB-KCQcbEpbDQvlW[/url]
大家還沒有提到的是第三題 如果AB可以是二位數以上 那可以找到更小的分子
回覆 12# cut6997 的帖子
老師好,想請問若令所求為x+y+z
則 X^2+Y^2+z^2=2(a+b+c)
由柯西(X^2+Y^2+z^2)*3 >= (x+y+z)^2
等號成立時 求出最大值為3,(此時 a=b=c=1/2)
過程中錯誤使用的地方在哪呢 [quote]原帖由 [i]yymath[/i] 於 2024-5-5 22:55 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26080&ptid=3860][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
大家好～
這次新北聯招好多題有問題耶～
我整理了有問題的題目為 2，3，5，7題
錯題講解影片連結
[url]https://youtu.be/cjLBy5ZSSOs?si=OB-KCQcbEpbDQvlW[/url]
大家還沒有提到的是第三題 如果AB可以是二位數以上 那可以找到更小的分子 ... [/quote]
第2題可以說符號沒定義好，但第3題A, B都是一個位數，很正常。
第3題分析一下即可，5AB當一個3位數
因為\(999=3^3\times37\)
所以把999的每個因數代進去測即可，當\(111|5AB\)，則\(\frac mn=\frac59\)，此時m最小是\(5\)。
註：3的話是167；9的話是56；27的話是19；37的話是14；111的話是5
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-5 23:24 編輯 [/i]] 證明第一題：
從第一項開始寫，都mod 5
1,3,4,2,1,3,4,2...
四個一循環(第6項跟第2項一樣都是1+3)，所以都不會是5的倍數。
回覆 15# YangRB 的帖子
自己廣義柯西不等式使用錯誤,抱歉耽誤大家時間第2題
若看成合成，就是在\(x\neq-1\)時，\(f^{(4)}(x)=x\)，所以\(f^{(113)}(2024)=f(2024)=\frac{2023}{2025}\)。若看成微分，就是\(f^{(n)}(x)=-2\times(-1)^nn!(x+1)^{-(n+1)}\)，所以\(f^{(113)}(2024)=\frac{2\times113!}{2025^{114}}\)。
應該是要改成兩個答案都給分
第1題
感覺還蠻有趣的題目設正三角形三頂點為ABC，
因為鉛直移動不影響邊長與投影，所以可以當C點在\(xy\)平面上，設A點的\(z\)坐標為\(a\)，B點的\(z\)坐標為\(b\)，
利用畢氏定理得\(a^2+3^2=b^2+12=(a-b)^2+4\)
解得\((a,b)=(2,-1)\)或\((-2,1)\)，兩者求出原正三角形邊長皆為\(\sqrt{13}\)。
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