113全國高中職聯招
第一部分：選擇題二、複選題
9.
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)之圖形的所有切線中，以過切點\((1,0)\)之切線斜率為最小，且此切線亦通過原點，則下列哪些選項是正確的？
(A)\(f''(1)=0\) (B)\(f(x)\)沒有極大值 (C)\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸相切 (D)方程式\(f(x)=1\)有三相異實根
設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若曲線\(y=f(x)\)上，以\((2,-10)\)為切點的切線斜率為最小，且此時之切線通過原點，求\(a,b,c\)之值及切線方程式[u] [/u]。
(98家齊女中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501[/url])
第二部分：綜合題
一、填充題
1.
設\(f(x)=x^2-16\)，若\(P=\{\;x_0,x_1,x_2,\ldots,x_k,\ldots,x_{n-1},x_n \}\;\)為\([1,3]\)的\(n\)等分割，\(n\in N\)，且知黎曼下和\(L_n\)，且知黎曼上和\(U_n\)，若\(\displaystyle |\;U_n-L_n|\;<\frac{1}{10000}\)，試求最小之自然數\(n\)？
3.
設\(O\)為\(\Delta ABC\)的外心，若\(\vec{AO}=\vec{AB}+3\vec{AC}\)，則\(sin\angle BAC=\)？
已知銳角\(\Delta ABC\)的外心為\(O\)，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{AC}=10\)，若\(\vec{AO}=x\vec{AB}+y\vec{AC}\)，且\(2x+10y=5\)，求\(cos(\angle BAC)=\)[u] [/u]。
(104陽明高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2260&page=3#pid13589[/url])
5.
自\(P_1(1,0)\)作\(x\)軸的垂直線交拋物線\(y=x^2\)於\(Q_1(1,1)\)，再由\(Q_1\)作此拋物線的切線交\(x\)軸於\(P_2\)，又自\(P_2\)作\(x\)軸的垂線交此拋物線於\(Q_2\)，如此依序進行，試求級數\(\overline{P_1Q_1}+\overline{P_2Q_2}+\ldots+\overline{P_nQ_n}+\ldots\)之和。
(110台南女中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3503&page=6#pid22659[/url])
二、計算證明題
1.
\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)，\(1\le i\le n\)，若\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)的相關係數存在並記為\(r\)，試用高中數學的方法證明\(|\;r|\;\le 1\)。
(在99課綱中談相關係數\(-1\le r \le 1\)，連結有解答[url]https://web.math.sinica.edu.tw/media/pdf/d364/36403.pdf[/url])
2.
請利用108課綱高一學生可以理解的方法證明：已知點\(P(x_0,y_0)\)，直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)，則\(P\)到\(L\)的距離為\(\displaystyle \frac{|\;ax_0+by_0+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
(點到直線的13種證明方法[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183[/url])
3.
令\(x_1,x_2,\ldots,x_{18}\)為方程式\(x^{18}+4x^{11}+1=0\)的18個根，求\((x_1^4+x_1^2+1)(x_2^4+x_2^2+1)\ldots(x_{18}^4+x_{18}^2+1)\)的值為何？
\(x^{18}-5x^{11}+1=0\)，求\(\displaystyle \prod_{i=1}^{18}(x_i^2+x_i+1)=\)？
(103大同高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1873&page=3#pid13180[/url]) 謝謝老師提供資訊 想請教第一部分選擇3、7、8
回覆 4# lisa2lisa02 的帖子
3.等同求b>a^3/(1+a) (填充題可能會有敘述疑慮...但這是選擇題)7.[log_2 (N-1)]=log_2 (19+N) -1 因為左邊是高斯，所以19+N得是2的次方數，符合的2^6~2^7之間
8.用GGB跑了一下，他給的示意圖有大問題...
[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2024-5-5 00:20 編輯 [/i]] 7. \(\displaystyle 2^{[log_2(2N-2)]}=log_2(N+19)\in \mathbb{Z}\)
因此可得\(\displaystyle N=13,45,109...\)
檢驗得知13不合，因此最小兩數為45，109，總和154
回覆 5# cut6997 的帖子
第一題應該是等同\(\displaystyle b>\frac{a^3 }{a+1}\)之後一個一個討論
a=1 ， b=1~9
a=2 ， b=3~9
a=3 ， b=7~9
a=4， b>9不合，共9+7+3=19組，機率\(\displaystyle \frac{19}{81}\) 謝謝cut6997、satsuki老師的回覆，有做出來了！
後來第七題我是直接用座標去算PQ的長度
P,Q應該一個在左、一個在右（？
[[i] 本帖最後由 lisa2lisa02 於 2024-5-6 23:27 編輯 [/i]]
回覆 8# lisa2lisa02 的帖子
選擇第 8 題P(-12 + 10√2，-15 + 10√2)、Q(-12 - 10√2，-15 - 10√2)
F'(-3，0)
PF' + QF' = 30√2
題目有誤！
回覆 9# thepiano 的帖子
我覺得這題圖形有給錯喔~我用desmos軟體畫出來的圖，點P、Q不會都在右半平面，而是一個在右半平面，另一個則在左半平面(第三象限)~[[i] 本帖最後由 小呆 於 2024-5-5 07:39 編輯 [/i]]
想請問填充#6
想請問老師們:填充#6怎麼解? (我都解不出 n是正整數解 ~) 謝謝[[i] 本帖最後由 小呆 於 2024-5-5 07:47 編輯 [/i]]
回覆 8# lisa2lisa02 的帖子
選擇第 8 題出題者被自己畫的圖誤導
他的原意應是
PF' - PF + QF' - QF = 2a + 2a = 8
PF' + QF' = PF + QF + 8 = PQ + 8 = 40 + 8 = 48
但正確的圖應是
PF' - PF + QF - QF' = 2a + 2a = 8
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-6 00:20 編輯 [/i]]
回覆 12# thepiano 的帖子
了解了。很謝謝老師的解惑。回覆 11# 小呆 的帖子
填充第 6 題若 n 是奇數
令 n = 2k + 1，則此等差數列的平均數為第 k 項
等差數列的每一項與平均數的差，分別是 -kd、-(k - 1)d、...、0、...、(k - 1)d、kd
變異數 = [(-kd)^2 + [-(k - 1)d]^2 + ... + [(k - 1)d]^2 + (kd)^2] / (2k + 1) = 260
2(√13/2)^2 * (1^2 + 2^2 + ... + k^2) = 260(2k + 1)
k = 15
n = 31
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-5 08:06 編輯 [/i]]
回覆 14# thepiano 的帖子
很謝謝老師的解答。 想請教一下單選第1、5題，謝謝回覆 16# lovejade 的帖子
單選第 1 題b/cosB = (3a - c)/cosC
sinB/cosB = (3sinA - sinC)/cosC
......
第 5 題
∫g(x)dx (從 0 積到 1) = a，∫f(x)dx (從 0 積到 2) = b
f(x) = x + 3 + a
g(x) = 2x - 9 + b
......
回覆 17# thepiano 的帖子
謝謝老師，本來單選1我寫到這邊sinB/cosB = (3sinA - sinC)/cosC
之後把sinB/cosB 換成tanB就卡住了，剛剛突然想通了，
謝謝老師 請教那個釋疑表，原本第8題的答案應該是D才對吧？ 想再請教一下填充第8、9題，謝謝
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