113新竹高中
113新竹高中 一、填空題4.
同時擲兩粒公正骰子，求點數和為 5 比點數和為 7 先出現的機率為何？[u] [/u]
投擲兩個6面的公正骰子,求其點數和為4會出現在點數和為7之前的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
(99桃園新進教師聯招，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=949&page=1#pid2133[/url])
[url]https://math.pro/db/thread-2228-1-2.html[/url]
5.
設\(P\)是正方形\(ABCD\)內部一點，且\(P\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積。
連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973[/url]
6.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{4-3x}+\sqrt{2x-1},\frac{1}{2}\le x \le \frac{4}{3}\)，當\(x=\alpha\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，求數對\((\alpha,M)=\)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url])
二、計算證明題
1.
若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(\cases{a_1=1\cr a_{n+1}=3a_n+1,n\in N}\)
(1)試求\(a_n\)的一般式 (2)證明\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k}<\frac{3}{2}\)
我的教甄準備之路 求數列一般項，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507[/url] 想請問填空2.
我的作法是很辛苦的求出cosC=(3+sqrt(13))/8
再算出sinC=(sqrt(39)-sqrt(3))/8
最後硬算cosB
想了解有沒有比較合適的做法？謝謝
回覆 3# peter0210 的帖子
第 2 題三角形\(ABC\)中，三頂點\(A,B,C\)對面的三邊長分別為\(a,b,c\)。若\(a+c=2b\)，且角\(\displaystyle A-C=\frac{\pi}{3}\)，試求\(cosB=\)
[解答]
a + c = 2b
sinA + sinC = 2sinB
2sin[(A + C)/2]cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)cos(B/2)
2cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)
√3 = 4sin(B/2)
sin(B/2) = √3 / 4
cosB = 1 - 2[sin(B/2)]^2 = 5/8 計算2
設三正數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle ab-\frac{11}{6}b=-1\)，\(\displaystyle bc-\frac{9}{4}c=-1\)，\(\displaystyle ac-\frac{8}{3}a=-1\)，則\(c=\)[u] [/u]。
[解答] 請教一下填充10 謝謝
回覆 6# zj0209 的帖子
填充第 10 題在直角坐標平面上，已知圓\(C\)的半徑為\(4\sqrt{13}\)且圓心在第三象限。從圓\(C\)外一點\(P\)對圓\(C\)作兩條切線，切點為\(A,B\)而斜率為\(\displaystyle \frac{2}{3},\frac{3}{2}\)。若\(\Delta PAB\)的外接圓的圓心為\((6,4)\)，求圓\(C\)的圓心的座標=[u] [/u]。
[解答]
△PAB 外接圓圓心 (6，4) 是 PC 中點
設 C(a，b)，P(-a + 12，-b + 8)
直線 PA：2x - 3y + 2a - 3b = 0
直線 PB：3x - 2y + 3a - 2b - 20 = 0
最後利用 C(a，b) 到兩直線的距離 = 4√13，可求出 a 和 b 謝謝鋼琴老師 想請問第11、12題和計算3，感謝
回覆 9# ben1006123 的帖子
第 11 題設\(\displaystyle a_n=sin\frac{1^{\circ}}{n}\cdot \frac{1\times 2\times 3\times 4+2\times 3\times 4\times 5+\ldots+n(n+1)(n+2)(n+3)}{1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+\ldots+n(n+1)(n+2)}\)。求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)[u] [/u]。
[解答]
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4
1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)/5 [quote]原帖由 [i]ben1006123[/i] 於 2024-5-15 15:48 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26186&ptid=3856][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問第11、12題和計算3，感謝 [/quote]
#12
在直角坐標平面上，圓\(x^2+y^2=1\)先被\(A=\left[\matrix{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}&\sqrt{3}\cr \frac{1}{2}&-3}\right]\)變換為曲線\(\Gamma_1\)，再被\(B=
\left[\matrix{cos8^\circ&sin8^\circ\cr sin8 ^\circ&-cos8^\circ}\right]
\left[\matrix{cos9^\circ&sin9^\circ\cr sin9 ^\circ&-cos9^\circ}\right]
\left[\matrix{cos10^\circ&sin10^\circ\cr sin10 ^\circ&-cos10^\circ}\right]
\left[\matrix{cos11^\circ&sin11^\circ\cr sin11 ^\circ&-cos11^\circ}\right]\ldots
\left[\matrix{cos66^\circ&sin66^\circ\cr sin66 ^\circ&-cos66^\circ}\right]
\left[\matrix{cos67^\circ&sin67^\circ\cr sin67 ^\circ&-cos67^\circ}\right]\)
變換為曲線\(\Gamma_2\)，求\(\Gamma_2\)的方程式為[u] [/u]。
[解答]
假設新座標為(X,Y)
由圖示可知X=x , [-1/ (2√3)]Y=y代入x²+y² =1
可得新方程式為X²+(1/12)*Y²=1 想請教填空題第7題的最小值，謝謝!
回覆 12# lisa2lisa02 的帖子
第 7 題以知實係數二次方程式\(x^2-ax+b=0\)有兩實根\(\alpha,\beta\)滿足\(-1\le \alpha\le 0\)且\(1\le \beta\le 2\)，若\(a^2+b^2\)有最大值\(M\)與最小值\(m\)，則數對\((M,m)=\)[u] [/u]。
[解答]
f(x) = x^2 - ax + b
畫圖可知
f(-1) = 1 + a + b >= 0
f(0) = b <= 0
f(1) = 1 - a + b <= 0
f(2) = 4 - 2a + b >= 0
畫出以上四個不等式的圖形，所求即是以原點為圓心的圓，其半徑長平方的最大與最小值
回覆 13# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師的回覆! 想請問計算3回覆 15# Hawlee 的帖子
計算證明題3.著名的Bernoulli不等式說，對於給定的正整數\(n\)，不等式「\((1+x)^n\ge 1+nx」在\(x\ge -1\)時恆成立。本題希望推廣此不等式。今設\(n\)是大於1的奇數。
(1)試證：恰有一個小於\(-2\)的實數\(x_n\)，使得不等式「\((1+x)^n\ge 1+nx\)」在\(x\ge x_n\)時恆成立。
(2)承(1)，試證：\(\displaystyle \lim_{\matrix{n為奇數\cr n\to \infty}}x_n=-2\)。
[解答]
[img]https://i.imgur.com/36IdKoJ.png[/img]
[img]https://i.imgur.com/784syGt.png[/img] 整理了新竹中學填充題解答 供參 請教第 11 題，官方答案是否有誤？
[attach]7241[/attach]
回覆 17# ruee29 的帖子
請教計算第 1(2) 題老師的證明看不太懂，第一句話就有點不知道從哪來的，請問要怎麼從題目想到從哪方面下手去證？
回覆 19# Superconan 的帖子
我是這樣思考 不確定有沒有瑕疵Step1:已知ak的一般式 從結果去湊湊看 發現第一項保留
從第二項開始的無窮等比級數 可以湊出答案
Step2:再試著湊左邊一開始的部分
3^0=1,3^1>1, 3^2>1,3^3>1,...剛好可以和結果連接起來
有點類似分析法 從結果倒推的想法
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