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Sandy 發表於 2024-4-29 14:21

113鳳新高中

試題

bugmens 發表於 2024-4-29 14:52

2.
已知\(0<\theta<\pi\)，求\(sin2\theta+2sin\theta\)的最大值並寫出此時之\(\theta\)值為何？
我的教甄準備之路　用算幾不等式解三角函數的極值，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077[/url]
連結有解答，[url]http://www.yll.url.tw/viewtopic.php?t=34997[/url]

4.
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，\(\overline{BC}\)邊上有100個相異點\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{100}\)，若\(m_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\cdot \overline{CP_i}(i=1,2,\ldots,100)\)，則\(m_1+m_2+m_3+\ldots+m_{100}\)之值為何？
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2498&page=1#pid15288[/url]

7.
已知實數\(x,y\)滿足\((x-\sqrt{x^2-2024})(y-\sqrt{y^2-2024})=2024\)，則\(3x^2-2y^2+3x-3y-2023=\)？
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1153&page=1#pid3687[/url]
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1153&page=1#pid3696[/url]

10.
空間中兩歪斜線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{-2}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-2}\)，\(P\)在\(L_1\)上，且\(Q\)，\(R\)都在\(L_2\)上，若\(\Delta PQR\)為正三角形，求\(\Delta PQR\)的最小面積為多少？

設兩歪斜線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{3}=\frac{3-z}{-2}\)、\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+2}{2}\)，平面\(E\)：\(2x-y=6\)。若\(A\)點在\(L_1\)上，\(B\)、\(C\)兩點在\(L_2\)上，且\(\Delta ABC\)為正三角形。請選出所有的正確選項？
(A)直線\(L_2\)與平面\(E\)平行
(B)當\(\Delta ABC\)有最小面積時，\(A\)點坐標為\((1,2,1)\)
(C)當\(\Delta ABC\)有最小面積時，\(A\)點在直線\(L_2\)的垂足坐標為\(H(0,-6,-4)\)
(D)\(\Delta ABC\)的最小面積為\(3\sqrt{3}\)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3643&page=2#pid24157[/url]

11.
設\(z_1,z_2\)為複數，\(|\;z_1|\;=|\;z_1+z_3|\;=3\)，\(|\;z_2-z_1|\;=3\sqrt{3}\)，求\(log(|\;(z_1\overline{z_2})^{2000}+(\overline{z_1}z_2)^{2000}|\;)=\)？
(2008TRML團體賽，100家齊女中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid9356[/url])

12.
試證明：對於任意正整數\(n\)，\(\displaystyle \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{2n}<\frac{\sqrt{2}}{2}\)恆成立。
(高中數學101　P358)

(103武陵高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1902&page=3#pid10833[/url])

koeagle 發表於 2024-4-29 18:36

想請教第8題，謝謝。

cut6997 發表於 2024-4-29 18:56

想問一下第4題，100個相異點，但沒說是等分點，我實在是無從下手...

Dragonup 發表於 2024-4-29 20:26

回覆 3# koeagle 的帖子

8.
設三次方程式\(5x^3-5(k+1)x^2+(71k-1)x+1-66k=0\)的三個根均為自然數，求自然數\(k\)為多少？
[img]https://i.imgur.com/1BOoWyT.png[/img]

Dragonup 發表於 2024-4-29 20:47

回覆 4# cut6997 的帖子

4.
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，\(\overline{BC}\)邊上有100個相異點\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{100}\)，若\(m_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\cdot \overline{CP_i}(i=1,2,\ldots,100)\)，則\(m_1+m_2+m_3+\ldots+m_{100}\)之值為何？
[解答]
[img]https://i.imgur.com/DIovvOk.png[/img]

thepiano 發表於 2024-4-29 20:50

回覆 3# koeagle 的帖子

第 8 題
設三次方程式\(5x^3-5(k+1)x^2+(71k-1)x+1-66k=0\)的三個根均為自然數，求自然數\(k\)為多少？
[解答]
5x^3 - 5(k + 1)x^2 + (71k - 1)x + (1 - 66k) = 0
(x - 1)[5x^2 - 5kx + (66k - 1)] = 0

令 a、b 為 5x^2 - 5kx + (66k - 1) = 0 的兩自然數根
a + b = k
ab = (66k - 1)/5 = (66a + 66b - 1)/5
b = (66a - 1)/(5a - 66)

若 a 為偶數，66a - 1 為奇數，而 5a - 66 為偶數，不合
故 a 為奇數

又 66a - 1 ＞ 0，5a - 66 ＞ 0，a ≧ 15
a = 17 時，b = 59
k = a + b = 76

thepiano 發表於 2024-4-29 21:01

回覆 5# Dragonup 的帖子

β 應是 17

Dragonup 發表於 2024-4-29 21:05

回覆 8# thepiano 的帖子

已更正 thx

Superconan 發表於 2024-4-29 21:48

回覆 1# Sandy 的帖子

跟學校反應以後，學校已公告答案。

113.4.29版主補充
將檔案移到第一篇

coco0128 發表於 2024-5-1 20:41

各位老師好
想請教第5題
謝謝

thepiano 發表於 2024-5-1 22:34

回覆 11# coco0128 的帖子

第 5 題
\(\Delta ABC\)中，設\(\overline{AB}:\overline{AC}:\overline{BC}=3:5:7\)。令\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，直線\(AI\)交\(\Delta ABC\)外接圓於另一點\(D\)，試求\(\displaystyle \frac{\overline{ID}}{\overline{AD}}\)的值。
[解答]
設內切圓和 AB 切於 P，易知 AP = 1/2，IP = √3 / 2，AI = 1
設 AI 和 BC 交於 E，易求出 AE = 15/8，BE = 21/8，CE = 35/8
利用圓幂定理可求出 DE = 49/8
AD = AE + DE = 8，ID = AD - AI = 7

sda966101 發表於 2024-5-2 00:32

想請假第12題

看高中數學101放在柯西不等式那邊，實在沒想到要怎麼湊

Dragonup 發表於 2024-5-2 07:15

回覆 13# sda966101 的帖子

12.
試證明：對於任意正整數\(n\)，\(\displaystyle \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\ldots+\frac{1}{2n}<\frac{\sqrt{2}}{2}\)恆成立。
[解答]
[img]https://i.imgur.com/eA8DP69.png[/img]

acolytej 發表於 2024-5-2 23:05

回覆 14# Dragonup 的帖子

原來是這樣
想說利用下和小於 1/x 黎曼和算出來是 < ln2 =0.693<0.7 ,  題目怎不直接出成 ln2就好

113.5.4補充
[url]https://math.pro/db/thread-729-1-1.html[/url]

Ellipse 發表於 2024-5-3 08:31

[quote]原帖由 [i]acolytej[/i] 於 2024-5-2 23:05 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26035&ptid=3855][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
原來是這樣
想說利用下和小於 1/x 黎曼和算出來是 < ln2 =0.693 [/quote]
這題是一般不等式訓練教材常看到的基礎題
它就是差不多用這樣的解法

coco0128 發表於 2024-5-3 08:43

回覆 12# thepiano 的帖子

謝謝老師，完成

coco0128 發表於 2024-5-3 16:17

老師好
想再請教第9題
畫完圖型卡住了
謝謝您

thepiano 發表於 2024-5-3 22:19

回覆 18# coco0128 的帖子

第 9 題
已知4條拋物線\(\Gamma_1\)：\(y=x^2+a\)，\(\Gamma_2\)：\(y=-x^2-a\)，\(\Gamma_3\)：\(y^2=x-a\)，\(\Gamma_4\)：\(y^2=-x-a\)，其中\(a\)為正實數，若任相鄰兩條拋物線均相切，試求這4條拋物線所圍成之區域面積。
[解答]
y = x^2 + a，y = x，y^2 = x - a 會相切於同一點 (1/2，1/2)
可求出 a = 1/4

所求為 y = x^2 + 1/4，y = x，y 軸三者所圍成的面積 * 8

zj0209 發表於 2024-5-13 21:44

想請教一下第3題

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