113台南二中
想請問 老師 9 10 12 6.求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{1}+\sqrt{8}+\sqrt{27}+\ldots+\sqrt{n^3})^2}{n^5}=\)[u] [/u]。
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
9.
設\(x\)為實數，則\(\sqrt{x^4-4x^2-12x+25}+\sqrt{x^4+2x^2+1}\)的最小值為[u] [/u]。
我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174[/url]
二、計算證明題
1.
設\(n\)是正整數，\(A=\left[\matrix{-1&4&2\cr-1&3&1\cr-1&2&2}\right]\)，試計算\(A^n\)。
我的教甄準備之路 矩陣n次方，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875[/url]
2.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(a,b,c\)，面積記為\(\Delta\)，試證明：\(\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta}\ge 4\sqrt{3}\)。
(1961IMO，連結有解答[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_2[/url])
4.
設\(\Delta ABC\)外接圓的半徑為\(R\)；內切圓的半徑為\(r\)；外新為\(O\)；內心為\(I\)，試證：\(\overline{OI}^2=R^2-2Rr\)。
連結有解答[url]https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122768[/url]
回覆 1# kobelian 的帖子
第 12 題(a + b) / a = sinB / (sinB - sinA) = b / (b - a)
ab = b^2 - a^2
cos(A - B) + cosC = 1 - cos2C
cos(A - B) - cos(A + B) = 2(sinC)^2
sinAsinB = (sinC)^2
ab = c^2
利用 ab = b^2 - a^2 ，把 a 用 b 表示
再利用 ab = c^2 ，也可把 c 用 b 表示
最後可求出答案
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-27 20:30 編輯 [/i]] 9.
原式 = [ (2x-3)^2 +(x^2-4)^2 ]^1/2 + [ (2x-0)^2 + (x^2-1)^2 ] ^1/2
令 A在 拋物線y = x^2/4 上，B(3,4)，C(0,1) ， L： y = -1
所求 = AB +AC = AB+ d(A,L) = d(B,L) = 4 - (-1) = 5
[[i] 本帖最後由 Danny920 於 2024-4-27 21:30 編輯 [/i]]
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#10[img]https://i.imgur.com/as4X4tz.png[/img] 想請教一下 填充11 與 計算3 謝謝
回覆 6# zj0209 的帖子
提出 \(\frac{5^{10}}{6}\)後面\(\sum\)可以看成是[i]X[/i]~[i]B[/i](10,0.6)求E(X^2)
[[i] 本帖最後由 weiliu0417 於 2024-4-29 09:15 編輯 [/i]]
回覆 1# kobelian 的帖子
請問老師 第三題 幾何的作法[[i] 本帖最後由 kobelian 於 2024-4-30 08:42 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]kobelian[/i] 於 2024-4-30 08:17 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26004&ptid=3849][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問老師 第三題 幾一一何的作法 [/quote]
有試過，除了答案1比較好猜，其他答案畫圖沒那麼明顯看得出來
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-30 21:57 編輯 [/i]]
回覆 6# zj0209 的帖子
計算三：[img]https://i.imgur.com/96kk7JR.png[/img] 想請問填充1和3 謝謝 [quote]原帖由 [i]g112[/i] 於 2024-4-30 21:35 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26011&ptid=3849][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問填充1和3 謝謝 [/quote]
#1
向量AI=向量AG+向量GI
=(1/3)*(向量AB)+(1/3)*(向量AC)+(1/21)*(向量BC)
=(2/7)*(向量AB)+(8/21)*(向量AC)
所求(x,y)=(2/7,8/21)
#3
令 z=cosθ+i*sinθ代入等式
解出
(1)sinθ=0 .θ=0°
z=cos0°+i*sin0°=1
(2)tan(2θ)= -√3 ,2θ=120° ,θ=60°
z=cos60°+i*sin60°=1/2+ (√3)i/2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-1 00:18 編輯 [/i]] 想請問填充7跟8，謝謝各位老師 [quote]原帖由 [i]optimal0204[/i] 於 2024-4-30 22:44 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26013&ptid=3849][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問填充7跟8，謝謝各位老師 [/quote]
#7
假設a_n表示投擲骰子n次,點數和為偶數的機率
則a_1=1/3
a_n=(1/3)*a_(n-1)+(2/3)*[1-a_(n-1)]
(∀n≧2 ,n∈ℕ)
解出a_n=1/2+(-1/6)*(-1/3)^(n-1)
=1/2+(1/2)*(-1/3)^n
(∀n≧1 ,n∈ℕ)
#8
f(-1)=1+2-3+4=4--------------(1)
且f(x)≡x²-2x+3x²-4x≡4x²-6x [ mod (x^3-1)]
假設f(x)=(x^3-1)Q1(x)+4x²-6x
=(x²+x+1)[(x-1)*Q1(x)+4]+(-10x-4)
=(x²+x+1)*Q2(x)+(-10x-4)
=(x²+x+1)(x+1)*Q3(x)+r(x²+x+1)+(-10x-4)------------(2)
由(1)&(2)得f(-1)=r+6=4, r= -2
所求餘式= -2(x²+x+1)+(-10x-4)= -2x²-12x-6
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-30 23:56 編輯 [/i]]
回覆 12# Ellipse 的帖子
想請問橢圓老師，令z=cosθ+i*sinθ代入等式，等號右邊的z^3 bar 該如何處理呢是把它變成cos3θ-i*sin3θ嗎? [quote]原帖由 [i]optimal0204[/i] 於 2024-4-30 23:43 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26015&ptid=3849][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問橢圓老師，令z=cosθ+i*sinθ代入等式，等號右邊的z^3 bar 該如何處理呢
是把它變成cos3θ-i*sin3θ嗎? [/quote]
對喔~後面再繼續化簡
回覆 16# Ellipse 的帖子
好的，謝謝橢圓老師~我再試看看回覆 14# Ellipse 的帖子
謝謝橢圓老師!!!回覆 12# Ellipse 的帖子
懂了,謝謝橢圓老師 各位老師好，想請問填充2的最小值部分(最大值的部分我用柯西寫出根號6+根號82)頁:
[1]
2