回覆 40# peter0210 的帖子
個人想法阿基米德拋物線弓形面積的算法是利用弓形底部的直線向上平移到與拋物線相切，令這個切點為三角形的頂點，以此類推後面的小三角形也使用這樣的規則，最後透過總和去逼近弓形面積。
之後在過程中證明出每次這樣切出的三角形與前一個三角形面積比會是1:8。
朱老師發的那連結中有給出證明，所以若是用平行切線的做法是一定能找到兩點C點滿足這個性質並非巧合，但這個C點不能先固定在某條線上(GGB那個動圖C點固定在Y軸上)，而是透過平行大三角形兩邊的切線所找出的切點才會符合，左右會各一點符合這個性質。
(因為三角形兩邊斜率會因拋物線向下平移的大小而改變，所以切點C不在同一條線上)
這一題底部直線是水平軸又限制拋物線的形式為y=x^2+bx+c，所以第一個大三角形的頂點便是拋物線的頂點，在用大三角形的兩邊作與之平行的切線，與拋物線所交的左右兩切點都能形成面積為原三角形1/8的小三角形.
題目條件 (-2,5)，c點在y軸、兩三角形面積和為9，都是用來限制唯一答案的(想法在39樓)
面積和為9(限制大小三角形的面積與形狀，y=x^2的垂直位移)，
c點在y軸(主要限制拋物線的水平位移)
通過(-2,5)(限制找某一邊的平形切線切點)
由於都是y=x^2+bx+c，所以都可以用y=x^2去平移得到，大三角形的面積不受水平平移影響
，所以若垂直向下平移k單位，大三角形的面積為k√k，而一邊平形切線得出的小三角形則為(1/8)k√k
，所以一定可以設計出面積為(9/8)k√k的四邊形與存在符合的拋物線(不唯一)。
，再利用C點在y軸上去做水平的平移，而通過某一點的條件則可以限制這個平行兩邊的切線是要做在三角形的右側還是左側。
所以根據上面的想法嘗試改數據設計題目
若已知拋物線y=x^2+bx+c
通過點(5/2,7)，且圖形交x軸於A B,兩點，交y軸於C點，設拋物線頂點為M，若四邊形
ACMB面積為 243/8，求此拋物線方程式?
解:
由(9/8)k√k=243/8 => k=9 ，y=x^2往下平移9單位，得到y=x^2-9
交X軸於A'(-3,0)、B'(3,0)，拋物線頂點M'(0,-9)
做平行A'M'與平行B'M'的切線 L1:y=-3x-(45/4)、L2:y=3x-(45/4)，
交拋物線於C'(-3/2,-27/4)、C''(3/2,-27/4)，將拋物線往右或往左(3/2)單位使C'或C''在Y軸上，
得到拋物線:y=(x+3/2)^2-9 or y=(x-3/2)^2-9
最後驗證有無通過(5/2,7)，得到所求拋物線為 y=(x+3/2)^2-9
回覆 41# Hawlee 的帖子
謝謝 Hawlee 老師熱心的回覆,我大致了解您的意思了目前的理解就是為了通過(-2,5),所以把切點水平平移至Y軸上,好符合題意說的C點在Y軸上,
想再提出個問題,如果一樣是通過(-2,5),只是把四邊形的面積改為243/8,
這樣應該就不能再用上述的方式解題了？
回覆 42# peter0210 的帖子
這題應該就是要考阿基米德拋物線這個性質不是因為為了通過(-2,5),所以把切點水平平移至Y軸上
而是將符合條件的切點平移到指定的軸上(也可以設計不是Y軸，例如X=1之類的也可以)
會有兩條拋物線符合面積(阿基米德給出的結論 證明出存在性)
(-2,5)只是用來限制是做哪一邊的切點並也保證了唯一性(39樓)
三角形A'M'B'的兩側都可以找到平行A'M'與平行B'M'的切線與拋物線的切點
若將這兩點各自平移到Y軸會產生兩條拋物線
而這時候就是要選一個點去固定唯一的拋物線
所以這個點要選擇在某一條拋物線上的點(不能是這兩條的共同交點 或 都不在這兩條拋物線上的點)
所以這個點不能任意選
像後來更改的題目在面積243/8的條件下
所形成的可能兩條拋物線都沒有通過(-2,5)，會解不出答案
[[i] 本帖最後由 Hawlee 於 2024-8-19 23:27 編輯 [/i]]
回覆 43# Hawlee 的帖子
今天利用電腦計算，符合通過(-2,5)且四邊形面積為243/8的b值約為-3.48797回覆 44# peter0210 的帖子
因在數值分析用演算法求出的近似值會很常出現進位制的問題，所以利用R求出b的根，將精確度擴張到小數點第8位 -3.48797311(12位的話為-3.487973114741)
利用GGB就會發現A'C'M'B'的面積恆小於30.375，不會等於243/8
但的確用演算法可以知道在b在(-4,-3)有一個實根
但無法手算計算出來，電腦也只是給出一個近似值，非一精確值的答案
所以這種題型如果要考的話
1.設計好數據，使在列關係式時可以手算算出所求
2.考阿基米德拋物線性質，如43樓所說設計通過的點，必須不能是交點或皆無通過的點
不然會像(-2,5)與面積243/8一樣，無論手解或電腦演算法都解不出精確值的答案
[[i] 本帖最後由 Hawlee 於 2024-8-21 03:49 編輯 [/i]]