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人生沒有太多的應該,
只有感謝。

Ellipse 發表於 2024-4-26 23:16

[quote]原帖由 [i]Hawlee[/i] 於 2024-4-26 14:16 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25918&ptid=3847][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問第七題,題目說xyz屬於實數,若用x^2,-y^2,1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根,有一正二負,
x^2,1/z^2 為正根必相同,所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案,算出7-根號5,與 (9-根號5)/2,不知道是否有那 ... [/quote]
您寫得沒有錯,出題者可能想用構造法來解
忽略了正負根重根的問題
出這種題目要很小心,它總共有216組解 (包含實數,複數解)
其中實數解有16組,全部經由Mathematica檢驗所求答案為7-√5或(9-√5)/2

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-27 00:23 編輯 [/i]]

zidanesquall 發表於 2024-4-27 02:12

回覆 4# thepiano 的帖子

想請問鋼琴老師,#9為什麼可以這樣子猜?會不會有其他不是這樣的解?

原本看完式子想用海龍去解,但是...卡關了

thepiano 發表於 2024-4-27 06:23

回覆 22# zidanesquall 的帖子

有三個未知數,但只有兩個等式,面積是不定值,連餘弦定理都難以處理
所以從特例正三角形和直角三角形去猜,畢氏定理可得到 a + b = c 這個符合題意的結果

除了 a + b = c 或 b + c = a 或 c + a = b,應該沒其它解了,有空再來做

這張題目多,技巧性高的題目也多,做法不調整,分數會很難看

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-27 06:24 編輯 [/i]]

farmer 發表於 2024-4-27 07:41

15題出錯,計算3用矩陣

15題只能得到角B=30°,這樣沒辦法確定三角形面積的範圍。

計算證明3用矩陣:
設P=矩陣如下:
a  c  b
b  a  c
c  b  a
則p=det(P),設q=det(Q),
則pq=det(PQ),最後只需炸開證明:
PQ矩陣也是如上形式。
(不知這題有沒有其他方便的證法?)

[[i] 本帖最後由 farmer 於 2024-4-27 07:45 編輯 [/i]]

Dragonup 發表於 2024-4-27 08:33

#9 \(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\) 為直角三角形三邊的理由,剩下同 thepiano
[img]https://i.imgur.com/b8KFDoF.png[/img]

[[i] 本帖最後由 Dragonup 於 2024-4-27 13:13 編輯 [/i]]

Hawlee 發表於 2024-4-27 13:48

謝謝老師們,最後想請問填充17
原本是想用座標化硬做,但後面數字太醜計算不太出來
不知道是否有其他技巧,謝謝

[[i] 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-27 13:53 編輯 [/i]]

zj0209 發表於 2024-4-27 22:59

請教一下 計算2 謝謝

Dragonup 發表於 2024-4-27 23:05

回覆 27# zj0209 的帖子

[img]https://i.imgur.com/Zju8Fhk.png[/img]

cut6997 發表於 2024-4-28 05:44

回覆 26# Hawlee 的帖子

正常情況下判別式的部分應該需要可以消掉
但這題消不掉導致會高達5次方...
真的要快就只能賭出題老師良心
由於面積等於9
而若取頂點和兩根所圍面積與其近似
可得x^3<=9
賭出題老師良心,可以直接得到x=2 也就是兩根之差為4,且頂點y座標為-4

[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2024-4-28 06:27 編輯 [/i]]

zj0209 發表於 2024-4-28 09:21

感謝 Dragonup 老師

farmer 發表於 2024-4-29 15:07

12題與17題

[size=5]12題用廣義柯西不等式[/size]
[attach]7037[/attach]

[size=5]17題高度懷疑是題目沒出好,
導致嚴謹解題需要解5次方程。
偷吃步解法為先測試出拋物線頂點
x坐標為h=1時,四邊形面積剛好為9,
再由圖形變化說明隨著h由0-->無限大,
該四邊形面積會越來越大(1對1對應),
因此h=1,b=-2。[/size]

[[i] 本帖最後由 farmer 於 2024-4-29 15:45 編輯 [/i]]

ruee29 發表於 2024-5-29 21:54

整理113彰化高中填充題解答
整理填充3時卡住
高三任課班的學生整理出6位一循環 並協助完成
自己試著用二階線性遞迴的公式 (沒有整理上去)
好像可以算出數列的一般式 也是6位一循環
但對於此數列 是否滿足S2023=2024 有些疑惑
填充10 使用了yymath老師教的體積公式
實力不夠好 很多題想了好久
若老師們有需要可以參考看看
填充15,17 與計算3沒寫出來

chu 發表於 2024-8-1 14:32

填充17

幫大家補充一下,這題1113年彰女第2次教甄(第15題)又出現一次,它是101年南一中科學班檢定第二階段的某一題
參考資料: [url]https://www.cnblogs.com/james-wangx/p/16111454.html[/url]
[attach]7220[/attach]

[[i] 本帖最後由 chu 於 2024-8-1 14:49 編輯 [/i]]

chu 發表於 2024-8-1 14:36

計算證明2

繼續補充
[attach]7217[/attach]

chu 發表於 2024-8-1 14:37

計算證明3

大家都會,只是懶得貼
[attach]7218[/attach]

ruee29 發表於 2024-8-1 21:49

原來是這樣處理
感謝朱氏幸福老師的解說~

Ellipse 發表於 2024-8-2 21:30

計算證明2:
令a=x+y, b=y+z, c=z+x
易知a,b,c可圍成一個△ABC
令Δ=△ABC的面積
則依題意知:Δ² =(x+y+z)(xyz)=9 (海龍公式)---------(*)
則由魏琴柏克不等式可證
(x+y)²+(y+z)²+(z+x)²=a²+b²+c²
≧(4√3)Δ=(4√3)*3 (by(*) )
≧18

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-8-2 21:33 編輯 [/i]]

peter0210 發表於 2024-8-13 16:36

回覆 33# chu 的帖子

請問 chu老師,想詢問根據您提供的性質代表過C點的斜率等於線段AM的斜率,如果這個假設是對的,代表 2倍的alpha = beta,雖然從答案來看也是對的,不過題目一開始的這個C點真的會符合我剛剛說的假設,還是說這個C點的位置只是剛好?

Hawlee 發表於 2024-8-18 01:40

回覆 38# peter0210 的帖子

想法:
阿基米德拋物線給的性質 平行AM的切點C一定是其中一解,但不確定是不是唯一解?
若從y=x^2出發,再把拋物線A平移到使的AB在X軸上,最後再平移使的通過(-2,5)
從這個想法開始去驗證唯一性
做一條切線L平行AM,若以AM為底則在切點有最大的高,可推得三角形ACM面積<=1/8 ABM
、8<= ABM面積<9 。

已知ABM面積=8有一解,所以探討ABM面積>8的情形:
在拋物線開口大小固定且底邊AB恆在X軸上,面積要從8往9趨近的過程,就相當於拋物線向逐漸往下平移,再來為了使得拋物線通過(-2,5)去向右平移。

令最終與x軸的兩交點為A'、B' ,與Y軸交點C'',頂點為M'
則A'、C''、M'點三點的x座標間距(水平間距)會比A、C、M大,
則A'C''M'面積>ACM面積,又A'M'B>8,可推得A'C''M'B'面積=A'C''M'+A'M'B'面積>1+8=9(矛盾)
所以切點C是唯一解,C必為平行AM的切線交點

[[i] 本帖最後由 Hawlee 於 2024-8-18 02:12 編輯 [/i]]

peter0210 發表於 2024-8-18 22:05

填充17
測試發現要符合"AMB面積為ACM面積的八倍",b的值只有兩個,分別為-2和-2/3,其餘的b都不符合,
所以本題如果面積換成不是9的數字,就無法使用上述的性質,
蠻好奇如果面積改成不是9的數字,還有辦法在考場上算的出來嗎
且可以發現當b=-2和-2/3,此時過C點的切線才會平行直線AM,其餘的b都不符合
這一題會不會真的只是巧合?
還是我誤會了甚麼?!

p.s. 當b=-2/3,ACMB面積為1/3

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