113彰化高中
想請問老師 5 6 9 3.數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_{n-1}=a_n+a_{n-2}\)，\(n\ge 3\)，設此數列前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(s_{2023}=2024\)，\(S_{2024}=2023\)，則\(S_{2025}=\)？
8.
設虛數\(z\)滿足\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)？
(110桃園高中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3512&page=1#pid22742[/url])
10.
四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{10}\)，\(\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{BD}=\sqrt{7}\)，求此四面體的體積？
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為[u] [/u]。
(101文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=7#pid5431[/url]) 請教一下 第7題 第12題 謝謝
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第 6 題外心 O、重心 G、垂心 H
HG = 2OG
以下向量符號省略
|OA + OB + OC| = |OG + GA + OG + GB + OG + GC| = 3|OG| = √3
|HA + HB + HC| = |HG + GA + HG + GB + HG + GC| = 3|HG| = 6|OG| = 2√3
第 9 題
先猜 a = b = c，第二式不合
再猜 a + b = c = 16，合
√a、√b、√c 是直角三角形之三邊長
面積 = (1/2)√(ab) ≦ (1/2)(1/2)(a + b) = 4
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-25 23:19 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]zj0209[/i] 於 2024-4-25 20:53 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25898&ptid=3847][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教一下 第7題 第12題 謝謝 [/quote]
#7
設A^3+3A²+A-2=0 的三根為x², -y² ,1/z²
(原想法有誤,恕刪)
後面解法請參考15樓Hawlee老師說明
彰中給錯答案了,請參考21樓
用Mathematica軟體檢驗說明
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-27 00:25 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]kobelian[/i] 於 2024-4-25 11:24 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25883&ptid=3847][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問老師 5 6 9 [/quote]
#5
原式=> (以下z~表示z的bar)
12z*(z~)=2(z+2)(z~+2)+(z²+1)[(z~)²+1]+31
整理得[z+(z~)+2]²+[z*(z~)-6]²=0
z+6/z = z+z~ = -2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 00:33 編輯 [/i]] 我理解了 謝謝Ellipse老師
回覆 3# zj0209 的帖子
第 12 題sinθ = a ＞ 0
cosθ = b ＞ 0
sinψ = c ＞ 0
cosψ = d ＞ 0
a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1
原題改為 a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022 = 1，求 a^2023 - d^2023
(a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022)(d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020) ≧ (a^2 + b^2)^2 = 1
等號成立於 (a/d)^2024) = (b/c)^2024，ac = bd，θ + ψ = π/2
此時 d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020 = 1
所求 = (sinθ)^2023 - (cosψ)^2023 = 0 版上老師好，小弟想問一下13，感謝感謝
感謝E大老師提醒，不好意思漏看5 ><!!
[[i] 本帖最後由 std310185 於 2024-4-26 10:26 編輯 [/i]] 謝謝鋼琴老師 [quote]原帖由 [i]std310185[/i] 於 2024-4-26 09:22 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25909&ptid=3847][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
版上老師好，小弟想問一下5跟13，感謝感謝 [/quote]
#5上面已答
#13
利用題目數據
可令f(c)=abc=c^3-5c^2+7c
f '(c)=3c^2-10c+7
當f '(c)=0,c=1或7/3
[且由柯西不等式得(a^2+b^2)(1+1)>=(a+b)^2
2(11-c^ 2)>=(5-c)^2,
3c^2-10c+3<=0,1/3<=c<=3 ]
又f(1/3)=(1/3)^3-5(1/3)^2+7*(1/3)=49/27
f(1)=1-5+7=3
f(7/3)=(7/3)^3-5(7/3)^2+7*(7/3)=49/27
f(3)=27-45+21=3
所求=M+m=3+49/27=130/27
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 13:28 編輯 [/i]]
回覆 9# std310185 的帖子
第 13 題a + b + c = 5
b + c = 5 - a
ab + bc + ca = a(5 - a) + bc = 7
a^2 - 5a + 7 = bc ≦ [(b + c)/2]^2 = [(5 - a)/2]^2
1/3 ≦ a ≦ 3
abc = a(a^2 - 5a + 7) = a^3 - 5a^2 + 7a
f(a) = a^3 - 5a^2 + 7a
f'(a) = 3a^2 - 10a + 7 = (a - 1)(3a - 7) = 0
a = 1 or 7/3
f(1) = 3，f(7/3) = 49/27
f(3) = 3，f(1/3) = 49/27
M + m = 3 + 49/27 = 130/27 感謝鋼琴老師回答，我小菜雞一枚
想問說老師您中間有用到算幾 -- bc <= [(b+c)/2]^2
但題目沒提到說b c為非負實數，這樣沒關係嗎@@?!
再次感謝鋼琴老師!
回覆 13# std310185 的帖子
別這樣說，有疑問是好事，錯了就修正[(b + c)/2]^2 - bc
= (b^2 + 2bc + c^2)/4 - bc
= (b - c)^2/4
≧ 0 想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那裡思路有誤? 答案有誤
[quote]原帖由 [i]Hawlee[/i] 於 2024-4-26 14:16 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25918&ptid=3847][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ... [/quote] 謝謝老師
另外想再請問計算一
回覆 17# Hawlee 的帖子
[img]https://i.imgur.com/HwVKWiH.png[/img] [quote]原帖由 [i]Hawlee[/i] 於 2024-4-26 14:16 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25918&ptid=3847][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ... [/quote]
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 22:55 編輯 [/i]]
回覆 18# Dragonup 的帖子
喔喔看懂了，謝謝另外還想再請問填充15，17，謝謝
[[i] 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-27 02:26 編輯 [/i]]