113彰化女中
113彰化女中 想請問 8 , 12 14 1.\(x\)，\(y\)為實數，則\(\sqrt{(x+5)^2+(y+4)^2+25}+\sqrt{(x-3)^2+(y-5)^2+49}\)之最小值是[u] [/u]。
12.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴關係\(\cases{\displaystyle a_1=2\cr a_{n+1}=\frac{3}{2a_n+1},n\ge1}\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a_n-1)(-\frac{3}{2})^n=\)[u] [/u]。
補充資料[url]https://math.pro/db/thread-1668-1-1.html[/url]
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434[/url]
13.
求\((1+x+x^2+x^3)^6\)展開式中\(x^5\)的係數=[u] [/u]。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2629[/url]
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url]
2.
證明：對於所有大於1的自然數\(n\)而言，\(\displaystyle sin\frac{\pi}{n}\cdot sin\frac{2\pi}{n}\cdot sin\frac{3\pi}{n}\cdot \ldots \cdot sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}\)恆成立。
連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3020&page=1#pid19087[/url] 第 14 題：
設數學分數為 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，物理分數為 \(y_1, y_2, ..., y_n \)，
兩科加總分的分數為 \(z_1, z_2, ..., z_n\)，兩科的相關係數為 \(r\)，
則 \(\displaystyle \mu_x = 60, \mu_y = 70, \sigma_x = 5, \sigma_y = 6, \sigma_z = 9\)，且 \(\mu_z = \mu_x + \mu_y\)
利用 \(\displaystyle z_i^2 = \left(x_i+y_i\right)^2, i =1, 2, 3, ..., n\) ，
得 \(\displaystyle z_1^2+z^2+ ... +z_n^2 = x_1^2 + x^2+ ... + x_n^2 + 2\left(x_1 y_1+x_2 y_2+...+x_n y_n\right)+y_1^2+y_2^2+...+y_n^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow n\left(\mu_z^2 + \sigma_z^2\right) = n\left(\mu_x^2 + \sigma_x^2\right)+2\left(n\sigma_x\sigma_y r+ n\mu_x \mu_y\right) +n\left(\mu_y^2 + \sigma_y^2\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sigma_z^2= \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y r +\sigma_y^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow 9^2= 5^2 + 2\cdot 5 \cdot 6 \cdot r +6^2\)
得 \(\displaystyle r=\frac{1}{3}\) 。
故迴歸直線為 \(\displaystyle y-70 = \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}\left(x-60\right)\)
註1： 相關係數 \(\displaystyle r = \frac{x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n - n\mu_x \mu_y}{n\sigma_x\sigma_y}\)
\(\displaystyle \Rightarrow x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n = n\sigma_x\sigma_y r +n\mu_x \mu_y\)
註2： \(\displaystyle \mu_z = \mu_x + \mu_y\Rightarrow \mu_z^2 = \mu_x^2+2\mu_x\mu_y+\mu_y^2\) 第 8 題：
設 \(A(0+4i), B(3+0i), P(z), C(0+i)\) 皆為複數平面上的點，
\(\displaystyle \left|z\right| = \frac{4}{\left|-1+\sqrt{3}i\right|}=2\) \(\Rightarrow P\) 在「以原點為圓心、以 \(2\) 為半徑」的圓 \(C\) 」上。
又此圓亦是滿足 \(PA:PC = 2:1\) 的阿波羅圓，
所以 \(\displaystyle \frac{1}{2}PA + PB = PC+PB \geq BC = \sqrt{10}\) 。
註： \(A, B\) 都在圓外， \(C\) 在圓內。
回覆 4# weiye 的帖子
謝謝老師 我再來研究一下 中間那個相關係數 第 12 題：解 \(\displaystyle x = \frac{3}{2x+1}\)，得 \(x=1\) 或 \(\displaystyle x=-\frac{3}{2}\)
令 \(\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}}\)，則
\(\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2a_{n-1}+1}-1}{\frac{3}{2a_{n-1}+1}+\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{-4a_{n-1}+4}{6a_{n-1}+9} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-\frac{3}{2}} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot b_{n-1}\)
可得 \(<b_n>\) 是一個首項為 \(\displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}\)，公比為 \(\displaystyle -\frac{2}{3}\) 的等比數列，
寫出 \(b_n\) 的一般項，可得 \(a_n\) 的一般項。 請教第 1, 2, 11 題 第 1 題：
令 \(P(x, y, 0), A(-5, -4, -5), B(3 ,5, 7)\)，則 \(PA+PB\geq AB = 17\)。
回覆 9# weiye 的帖子
為什麼不能 \(z\) 坐標一個 \(5\) 一個 \(7\) ，讓距離更小？抱歉我知道了，因為 \(P\) 在 \(xy\) 平面上。
[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2024-4-24 11:12 編輯 [/i]] 第 2 題：
三點共線的情況有 \(12+4 = 16\) 種，
[attach]6996[/attach] [attach]6997[/attach]
(順時針90度旋轉四次)
四點共線的情況有 \(4\) 種，
[attach]6998[/attach]
(順時針90度旋轉四次)
五點共線的情況有 \(12\) 種。
(五條水平線、五條鉛直線、兩條對角線)
所求機率＝\(\displaystyle \frac{\left(C^{25}_3-16C^3_3-4C^4_3-12C^5_3\right)\times 3!}{C^{25}_{3}\times 3!}=\frac{537}{575}\) 。 第 11 題：
[attach]6999[/attach]
先求 \(\displaystyle y=-x^2+4\) 的斜率為 \(-3\) 的切線：
\(\displaystyle y'=-2x=-3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)，得切點為 \(\displaystyle (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})\)。
\(\Rightarrow k\) 的最大值為 \(\displaystyle 3\times\frac{3}{2}+\frac{7}{4}=\frac{25}{4}\)。
再求 \(x^2+y^2=4\) 的斜率為 \(-3\) 的切線：
\(\displaystyle \left|\frac{3\times 0+1\times 0+k}{\sqrt{3^2+1^2}}\right|=2 \Rightarrow -2\sqrt{10}\leq k\leq 2\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow k\) 的最小值為 \(\displaystyle -2\sqrt{10}\)。
回覆 11# weiye 的帖子
謝謝老師，原來是三點共線漏了 \(4\) 條回覆 1# kobelian 的帖子
老師好，彰化女中有更正答案，方便請老師抽換嗎？謝謝～2024.04.24 weiye 補充：已將更正版答案附於首篇。 請教5、15、17、18，謝謝！
回覆 15# JJM 的帖子
第 18 題作 C’E 垂直 AB 於 E，作 C’H 垂直平面 ABC 於 H，作 DG 垂直平面 ABC 於 G
DG = 10√33
C’E = 15√3，C’H / C’E = √11 / 6，C’H = (5/2)√33
CC’ / CD = C’H / DG
CC’ = 15 第 17 題
先把橢圓視為半徑 5 的圓
此時 △PAB 面積最小時是正三角形，高 = 5 * 3 = 15，面積是 75√3
再伸縮 3/5 變回橢圓
當 a = 15 * (3/5) = 9 時，△PAB 有最小面積 75√3 * (3/5) = 45√3
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-24 20:26 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]JJM[/i] 於 2024-4-24 18:53 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25872&ptid=3845][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教5、15、17、18，謝謝！ [/quote]
#5
Sn=∫ {0 to1} [x^n-x^(n+1) ] dx= 1/(n+1)- 1/(n+2)
所求Σ {n=1 to ∞} Sn
=Σ {n=1 to ∞} [1/(n+1)- 1/(n+2)]
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+.............
=1/2
#15
令k=log_0.6 (x) ,則x=0.6^k
( 0.216≦x≦1 => 0≦k≦3 )
令原式=F(k)= (0.6^k) ^(k-2)^3 =0.6^[ k(k-2)^3]
當F'(k)=0 ,得k=1/2 ,2
當k=1/2時,F(1/2)=0.6^(-27/16) 有最大值
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-24 23:33 編輯 [/i]]
回覆 17# thepiano 的帖子
請問面積最小時為正三角形是怎麼得知的？謝謝！回覆 19# JJM 的帖子
內切圓圓心和三頂點及三切點連線，令半徑為 r△ABC = 六個小三角形面積和 = [cos(A/2) + cos(B/2) + cos(C/2)]r^2
即求：A + B + C = π，cos(A/2) + cos(B/2) + cos(C/2) 何時有最小值
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