113屏科實中
請見附檔 5.有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\)、\(\overline{CF}=40\)、\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC =10}\)。將平面\(BCFE\)置於水平桌面上，且將與\(BCFE\)平行的平面稱為水平面。試回答下列問題。
(1)若水平面\(W\)介於\(A\)，\(P\)之間且與\(A\)的距離為\(x\)，試以\(x\)表示\(W\)與此積木所截的矩形區域之面積
(提示：令\(Q\)為\(\overline{FC}\)上一點，滿足\(\overline{AQ}\)與\(\overline{DF}\)平行，利用\(\Delta ABC\)、\(\Delta ACQ\)為全等三角形去解)
(2)將線\(\overline{AP}\)的\(n\)等分點沿著向量\(\vec{AP}\)的方向依序設為\(A＝P_0\)，\(P_1\)，\(\ldots \ldots\)，\(P_{n-1}\)，\(P_n=P\)。在每一個分段\(\overline{P_{k-1}P_k}\)，考慮以通過\(P_k\)的水平面與此積木所截的矩形為底、\(\overline{P_{k-1}P_k}\)為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和(無需化簡)。
(3)以定積分形式表示此積木的體積。
(4)以定積分求出此積木的體積之值。
111分科測驗數學甲
回覆 1# pppm 的帖子
請問第10題調和數列除了a1=a2且都是整數外，還有哪些情況能符合
回覆 3# cut6997 的帖子
第10題，沒有其它情況了令 \( b_n = \frac{1}{a_n} \)，則 \( b_{n}=2b_{n-1}-b_{n-2} \)
利用矩陣(或其它法方) 推出 \( b_n \) 的一般式
令 \( A = \begin{bmatrix}2 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} \)，則 \( \begin{bmatrix}b_{n+2}\\
b_{n+1}
\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}b_{n+1}\\
b_{n}
\end{bmatrix} \)，\( \begin{bmatrix}b_{n+2}\\
b_{n+1}
\end{bmatrix}=A^{n}\begin{bmatrix}b_{2}\\
b_{1}
\end{bmatrix} \)
而 \( A=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix} \)，且有 \( \begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix} \) 及 \( \begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} \)
故由二項式定理得 \( A^n = \begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n+1 & -n\\
n & 1-n
\end{bmatrix} \)
因此 \( b_{n+1} = b_{1}+n(b_{2}-b_{1}) \)
而有 \( a_{n+1} = \frac{1}{ b_{1}+n(b_{2}-b_{1})} \)
當 \( a_1 \neq a_2 \) 時，\( b_1 \neq b_2 \)，
\( n \) 夠大時，\( a_n \approx 0 \)，但 \( a_n \) 又不為 0，
故 \( n \) 夠大時，\( a_n \) 皆不為整數。
當 \( a_1 = a_2 \) 時，\( b_1 = b_2 \)，\( a_n =a_1 \)。
故符合無限多項為整數的情形只在 \( a_1 = a_2 \) 且 \( a_1 \) 為整數發生。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2024-4-27 08:02 編輯 [/i]]
回覆 4# tsusy 的帖子
好的，謝謝寸絲老師因為我看分數感覺只有可能是這題沒拿到分數，
我是寫
1/a1=s
1/a2=s+d
1/an=s+(n-1)d
=>an=1/(s+(n-1)d) ,若d不等於0,則當n夠大時，an<1不為整數
=>a1=a2
不過看來是我教育類的基本沒分
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