113中山女高
中山女高填充題與答案 1.若\(\displaystyle f(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}}\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{500}\frac{1}{f(2k-1)}=\)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
連結有解答，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872[/url]
3.
已知\(ABCD\)為正四面體，有一隻小蟲反覆在四個頂點之間移動，它從一個頂點爬行至另一頂點稱為一次，已知小蟲從一頂點爬行到任一相鄰頂點的機率均相同，今小蟲從\(A\)點開始出發沿稜線爬行至\(B\)、\(C\)、\(D\)其中一點，設\(a_n\)表示小蟲爬行\(n\)次後在\(A\)點的機率。可以寫出一般式\(a_n=\)[u] [/u]。
連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071[/url]
5.
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{3&-4\cr 4&3}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，則\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值為[u] [/u]。
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a=\overline{OP_1}\)。
(1)試求\(sin(\angle P_1OP_3)\)。
(2)試以\(a\)表示\(\Delta P_1P_2P_3\)的面積。
(3)假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。
106數甲
6.
卡當諾(Girolamo Cardano,1501-1576)所著的《偉大的技藝(Ars Magna，英譯為[i]The Great art[/i])》書中有一題有趣的三角形面積問題：
There is a triangle the difference between the first and the second sides of which is 1 and between the second and third sides of which is also 1, and the area of which is 3. What is the largest side length? Ans：_______。
(我的教甄準備之路 三角形的面積，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779[/url])
[解答]
設三邊為\(a=x-1,b=x,c=x+1\)，最大邊長為\(c=x+1\)
利用海龍公式\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3x}{2}\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{3x}{2}\left(\frac{3x}{2}-(x-1)\right)\left(\frac{3x}{2}-x\right)\left(\frac{3x}{2}-(x+1)\right)}=3\)
\(\displaystyle \frac{3x}{2}\cdot \frac{x+2}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x-2}{2}=9\)
\(\displaystyle x^2(x^2-4)=48\)
\(x^4-4x^2-48=0\)
\(\displaystyle x^2=\frac{4\pm \sqrt{4^2+4\cdot 1 \cdot 48}}{2}=\frac{4\pm 4\sqrt{13}}{2}=2\pm 2\sqrt{13}\)(負不合)
\(x=\sqrt{2+2\sqrt{13}}\)
最大邊長\(c=x+1=\sqrt{2+2\sqrt{13}}+1\)
10.
已知\(\displaystyle tan10\theta=\frac{a_1\cdot tan\theta+a_3\cdot tan^3\theta+a_5\cdot tan^5\theta+a_7\cdot tan^7\theta+a_9\cdot tan^9 \theta}{a_0+a_2\cdot tan^2\theta+a_4\cdot tan^4\theta+a_6\cdot tan^6\theta+a_8\cdot tan^8\theta+a_{10}\cdot tan^{10}\theta}\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{10}|\;a_k|\;=\)[u] [/u]。
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3350&page=1#pid21520[/url]
113中山女中填充題8
想請教113中山女中填充題8，謝謝老師 8.化為50*0.999^1000近似於50*1/e，可參考“37法則”[[i] 本帖最後由 ahliang6897 於 2024-4-23 09:46 編輯 [/i]] 想請教一下 第7題
回覆 5# zj0209 的帖子
第 7 題令 f(x) = ka^x
f(x + y) = 2f(x)f(y)
ka^(x + y) = 2 * ka^x * ka^y
k = 1/2
f(x) = (1/2)a^x
f'(x) = (lna/2)a^x
f'(0) = 2，lna = 4
f''(x)/f(x) = [(1/2)(lna)^2 * a^x]/[(1/2)a^x] = 16 謝謝鋼琴老師 想請教一下填充第2題，
本來想說討論，AB和DE相同或相異的狀況，但想不出來
後來找到了有個龍騰數亦優的方法，不知道有沒有其他方式?
[[i] 本帖最後由 lovejade 於 2024-5-9 10:46 編輯 [/i]]
回覆 8# lovejade 的帖子
跟扇形著色問題一樣回覆 9# thepiano 的帖子
原來是這樣思考的呀?!謝謝鋼琴老師!
回覆 5# zj0209 的帖子
f(0)=f(0+0)=2f(0)f(0),且f(0)>0 => f(0)=1/2f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h (h--->0)
=lim(2f(x)f(h)-f(x))/h (h--->0)
=2f(x) lim(f(h)-f(0))/h (h--->0)
=2f(x)f'(0)=4f(x)
f''(x)=(f'(x))'=(4f(x))'=4(f(x))'=4*4f(x)=16f(x)
故所求16
另請問滿足題意的 f(x) 能否找出非單項指數型式的函數呢?
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2024-5-10 10:29 編輯 [/i]]
4.
將原圖先縮小1/25,使兩杆頂座標為（-1,0）,（1,0）即為橢圓兩焦點，c=1,2a=100/25=4a=2=>b^2=3,此橢圓：x^2/4+y^2/3=1
P(t,-1),t<0,代入橢圓得t=-2✓6/3
所求=25（2✓6/3-1） [quote]原帖由 [i]laylay[/i] 於 2024-5-10 09:51 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26132&ptid=3834][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
另請問滿足題意的 f(x) 能否找出非單項指數型式的函數呢? [/quote]
就只有指數型函數喔,您可以看以下影片說明
[url]https://www.youtube.com/watch?v=LgqYrwiotmQ[/url] 請教證明及問答題第 1 題
回覆 14# Superconan 的帖子
證明第 1 題[(a + b)/a](sinx)^4 + [(a + b)/b](cosx)^4 = 1
(b/a)(sinx)^4 + (a/b)(cosx)^4 + (sinx)^4 + (cosx)^4 = 1
(b/a)(sinx)^4 + (a/b)(cosx)^4 - 2(sinx)^2(cox)^2 = 0
[√(b/a)(sinx)^2 - √(a/b)(cosx)^2]^2 = 0
√(b/a)(sinx)^2 = √(a/b)(cosx)^2 = √(a/b)[1 - (sinx)^2]
(sinx)^2 = a/(a + b)，(cosx)^2 = b/(a + b)
代入欲證明之式子即可證出
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