113武陵高中
如附檔 一堆考古題... 想請問計算3回覆 3# Hawlee 的帖子
計算第 3 題S_(n+1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n+1) ≦ ra_n = r[S_n - S_(n-1)]
S_n ≧ S_(n-1) + [S_(n+1)/r] ≧ 2√[S_(n-1)S_(n+1)/r]
(S_n)^2 ≧ (4/r)S_(n-1)S_(n+1)
S_(n-1)S_(n+1) ≦ (r/4)(S_n)^2
S_(n+1)/S_n ≦ (r/4)[S_n/S_(n-1)] ≦ [(r/4)^2][S_(n-1)/S_(n-2)] ≦ ... ≦ [(r/4)^(n-1)](S_2/S_1)
若 0 ＜ r ＜ 4，當 n → ∞，[(r/4)^(n-1)](S_2/S_1) = 0，不合
故 r ≧ 4 1.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+6n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+9n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+3n^2}}\right)=\)[u] [/u]。
我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4n}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}\right]=\)？
(A)\(\sqrt{2}-1\) (B)\(\sqrt{3}-1\) (D)\(2(\sqrt{2}-1)\) (D)\(2(\sqrt{3}-1)\)
(112新竹市國中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html[/url])
2.
若過原點有三條相異直線與\(y=x^3+ax^2+1\)相切，試求實數\(a\)之範圍為[u] [/u]。
相關問題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567[/url]
連結有解答，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118[/url]
6.
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(f(x+3)\ge f(x)+3\)，\(f(x+1)\le f(x)+1\)都成立，試求\(f(2024)=\)[u] [/u]。
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(\cases{f(x+3)\ge f(x)+3\cr f(x+1)\le f(x)+1}\)都成立，試求\(f(2011)=\)[u] [/u]。
(100麗山高中，[url]https://math.pro/db/thread-1138-1-1.html[/url])
連結有解答，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212[/url]
7.
動物園用以下方式建立了一個大型鳥籠：在一個邊長為 10 公尺的正方形平台上，立起兩支以底面對角線為直徑的半圓形鋼架，落腳點就在平台上的四個頂點上，而交叉點在底面中心的正上方；然後在鋼架上張起鐵絲網，使得每個水平面上的鐵絲網都是頂點落在鋼架上的正方形，
試求 此鳥籠的容積為[u] [/u]。
113.4.20
看了ruee29的解答發現這不是牟合方蓋
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294[/url]
8.
設\(\displaystyle a=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}}\)，求\(a\)的整數部分為[u] [/u]。
連結有解答，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048[/url]
9.
已知\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，過\(P(3\sqrt{3},1)\)，求
(1)\(a+b\)之最小值為[u] [/u]。
(2)承(1)，此時\(\Gamma\)方程式為[u] [/u]。
(高中數學101 P242 ，95台中一中，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1072&page=1#pid2814[/url])
我的教甄準備之路 廣義的柯西不等式，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075[/url]
10.
已知多項式函數\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-2\)，則\(\displaystyle \sum_{i=1}^{113}f\left(\frac{i}{113}\right)=\)[u] [/u]。
回覆 4# thepiano 的帖子
謝謝老師 想再請問12,13[[i] 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-15 21:23 編輯 [/i]]
回覆 7# Hawlee 的帖子
第 12 題原點 O，OP = 2√5，OM = ON = 6
作矩形 PMQN
易知 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2
OQ = 2√13
Q 在以原點為圓心，半徑 2√13 的圓上
|向量 PM + 向量 PN| = |向量 PQ| 的最小值出現在 O、P、Q 共線時
此時 PQ = 2√13 - 2√5
第 13 題
定座標 A(0，2)、B(4，2)、C(x，y)、M(x - 2，0)、N(x + 2，0)
利用 CA^2 = CM^2
可得 C 之軌跡為拋物線 x^2 = 4y，焦點 F(0，1)，準線 y = -1
d + BC = CF - 1 + BC，最小值出現在 F、C、B 共線時
所求 = BF - 1 = √17 - 1
回覆 8# thepiano 的帖子
不好意思，請問 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2這邊為甚麼成立?回覆 9# Hawlee 的帖子
過 O 分別作平行 PM 和 PN 的直線再用畢氏定理湊一下就可以了
回覆 10# thepiano 的帖子
喔喔，看出來了非常感謝! 想問填充11回覆 12# s7908155 的帖子
第 11 題S_1 = a_1 是 6 的倍數之機率 = 1/6
S_2 = S_1 + a_2 是 6 的倍數之機率 = S_1 * (1/6) + (1 - S_1) * (1/6) = 1/6
第 1 個 1/6 是 a_2 = 6 之機率
第 2 個 1/6 是當 S_1 ≡ 1 (mod 6)，a_2 ≡ 5 (mod 6) 的機率，S_1 ≡ 2 (mod 6)，a_2 ≡ 4 (mod 6) 的機率，依此類推 ...
S_n 是 6 的倍數之機率都是 1/6
所求 = 113/6
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-16 11:08 編輯 [/i]] 請教第4題、第14題的做法，謝謝
[[i] 本帖最後由 JJM 於 2024-4-16 13:10 編輯 [/i]]
回覆 14# JJM 的帖子
第 4 題定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y
x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了
第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di
a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1
a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-16 16:02 編輯 [/i]]
回覆 15# thepiano 的帖子
懂了，謝謝老師！113武陵高中計算題2
想請教113武陵高中計算題2，感謝老師。回覆 17# aizin 的帖子
計算第 2 題先證 a^3 + b^3 ≧ a^2b + ab^2
輪換的三式相加後，可得
2(a^3 + b^3 + c^3) ≧ a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2
3(a^3 + b^3 + c^3) ≧ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)
(a^3 + b^3 + c^3)/(a^2 + b^2 + c^2) ≧ (1/3)(a + b + c)
輪換的四式相加後，可得題目要證的不等式 [quote]原帖由 [i]aizin[/i] 於 2024-4-16 22:41 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25752&ptid=3830][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教113武陵高中計算題2，感謝老師。 [/quote]
某年能力競賽題目
另證明: (大同小異的證法)
利用兩次科西不等式得
(a^3+b^3+c^3)/(a²+b²+c² )≧(a²+b²+c² )/(a+b+c)≧(a+b+c)/3
再做其他三式輪換,相加可證得
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-17 00:26 編輯 [/i]] 試著整理填充題解答 供參
[url]https://drive.google.com/file/d/1arfgrlMKklzUF5MYI8v8uMv6b5QOKtEh/view?usp=drive_link[/url]
[[i] 本帖最後由 ruee29 於 2024-4-20 12:22 編輯 [/i]]
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