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釀頂級葡萄酒的葡萄藤,
都是從最貧瘠的土壤中生長出來。

fierthe 發表於 2024-4-22 11:45

第 10 題
用三次函數的對稱中心在 x=1/2,可得原式 = 112 * f(1/2) + f(1) = -55。
(k=113 時沒有另一個對應的項,所以另外加)

ChuCH 發表於 2024-6-17 20:00

請教填充3

Ellipse 發表於 2024-6-17 21:45

[quote]原帖由 [i]ChuCH[/i] 於 2024-6-17 20:00 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26413&ptid=3830][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教填充3 [/quote]
#3
令(4y-7z)/x=(2x-2z)/(5y)=(x+2y)/z=t
t*x-4y+7z=0
-2x+5t*y+2z=0
-x-2y+t*z=0
令△=
|t    -4    7  |
|-2   5t    2 |  =0
|-1   -2    t  |
5t^3+31t+36=0 ,解出t=-1
代入原式得x:y:z= (-9):4:1

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-6-17 21:49 編輯 [/i]]

swallow7103 發表於 2024-6-25 10:08

填充第9題

我跟廣義柯西不等式不熟...
以下提供兩個微積分的解法,大同小異。

(Sol1) Lagrange multiplier
令\( \displaystyle g(a,b) = \frac{27}{a^2} + \frac{1}{b^2}-1、f(a,b)=a+b\),所求為 \( f(a,b) \) 的最小值,\( a,b \)須滿足\( g(a,b)=0 \)。
定義\( \displaystyle \nabla{f}=( \frac{\partial{f}}{\partial{a}}, \frac{\partial{f}}{\partial{b}} )\)。
極值發生時\( \nabla{g}= \lambda \nabla{f} \),for some real number \( \lambda\),是故:
\( \displaystyle (-\frac{54}{a^3}, -\frac{2}{b^3})=( \lambda, \lambda ) \),因此\( \displaystyle -\frac{54}{a^3} = -\frac{2}{b^3} \),即\( \displaystyle a^3=27b^3  (或是 a=3b) \)
因此\( a=6, b=2 \),由大致函數圖形可判斷此時為最小值。

(Sol2) Implicit Differentiation
將 \( b視為a的函數\),並將\( \frac{27}{a^2} + \frac{1}{b^2}-1=0 \)對\( a \) 做微分,可得\( \displaystyle -\frac{54}{a^3}-\frac{2}{b^3} ( \frac{db}{da} )=0 \)。
設 a+b=k ,則在以a為橫軸,b為縱軸的平面上,a+b=k 是一條斜率為-1的直線,將\( \frac{db}{da}=-1\)帶入上式,可得\( a^3=27b^3\),後續計算就跟上面一樣。

[[i] 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-25 10:11 編輯 [/i]]

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