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Superconan 發表於 2024-4-12 01:02

113新竹女中

腦汁炸乾了
計算題那 38 分
九連環和 3D 立體賓果的問題，非常不確定有沒有記對。
如果有記得的老師，再請分享～

備註：九連環那題，本來就有說參考來源來自數學傳播第 38 卷第 3 期，因此我從裡面擷取一些文字，盡量還原為印象中的考題。
參考資料：[url=https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=38302]https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=38302[/url]

113.4.12版主補充
上傳官方版試題

[[i] 本帖最後由 Superconan 於 2024-4-12 09:30 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2024-4-12 09:07

8.
設數列\(a_k=k^3\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{3n-1}\frac{n^2}{a_k}=\)[u]　　　[/u]。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url])

vln0106 發表於 2024-4-12 10:58

想請教填充 6  7 10
謝謝老師

ahliang6897 發表於 2024-4-12 11:12

7.巴斯卡定理  C2025取1001/C2024取1000=2025/1001

Superconan 發表於 2024-4-12 11:56

請問填充3、9

ahliang6897 發表於 2024-4-12 12:50

回覆 5# Superconan 的帖子

3.定坐標

thepiano 發表於 2024-4-12 14:08

回覆 3# vln0106 的帖子

第 6 題
2≦1/x＜4，1/4＜x≦1/2
8≦1/x＜16，1/16＜x≦1/8
:
:

3≦1/y＜9，1/9＜x≦1/3
27≦1/y＜81，1/81＜x≦1/27
:
:

所求 = [(1/2 - 1/4) + (1/8 - 1/16) + ...][(1/3 - 1/9) + (1/27 - 1/81) + ...] = (1/3)(1/4) = 1/12

thepiano 發表於 2024-4-12 14:45

回覆 5# Superconan 的帖子

第 9 題
O(0，0)、P(1，t)，-√3 ≦ t ≦ √3，Q(x，y)，x ≧ 1
OP^2 * OQ^2 = (t^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16

OP 和 OQ 斜率相同，可得 t = y/x

(y^2/x^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 16x^2 = 0
(x^2 + 4x + y^2)(x^2 - 4x + y^2) = 0
[(x + 2)^2 + y^2 - 4][(x - 2)^2 + y^2 - 4] = 0
(x + 2)^2 + y^2 = 4 (不合，因 x ≧ 1) or (x - 2)^2 + y^2 = 4

所求為以 O'(2，0) 為圓心，半徑為 2 的圓周長 扣掉 弧AB(120度) 的長 = 4π * (2/3) = (8/3)π

JJM 發表於 2024-4-12 16:57

回覆 4# ahliang6897 的帖子

請教老師，這邊分子是怎麼得到的？

mathchen 發表於 2024-4-12 17:08

回覆 JJM 老師

第七題分子的部分我是這樣算的，若有錯誤再請老師指教。

mathchen 發表於 2024-4-12 17:23

想詢問8的做法，謝謝老師

thepiano 發表於 2024-4-12 18:27

回覆 11# mathchen 的帖子

第 8 題
分子和分母同除以 n^3
(1/n){1 + 1/(1 + 1/n)^3 + 1/(1 + 2/n)^3 + …… + 1/[1 + (2n - 1)/n]^3}
所求 = 1/(1 + x)^3，從 0 積到 2

Ellipse 發表於 2024-4-12 23:14

[quote]原帖由 [i]vln0106[/i] 於 2024-4-12 10:58 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25690&ptid=3829][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充 6  7 10
謝謝老師 [/quote]
#10

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-12 23:19 編輯 [/i]]

vln0106 發表於 2024-4-13 10:45

回覆 13# Ellipse 的帖子

請問老師這個公式由來

Ellipse 發表於 2024-4-13 11:38

[quote]原帖由 [i]vln0106[/i] 於 2024-4-13 10:45 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25701&ptid=3829][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問老師這個公式由來 [/quote]
Google 搜尋: Coupon collector problem  (彩卷收集問題)

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-13 12:33 編輯 [/i]]

vln0106 發表於 2024-4-13 12:18

回覆 15# Ellipse 的帖子

感謝老師

thepiano 發表於 2024-4-13 15:38

回覆 3# vln0106 的帖子

第 10 題
以 A、B、C 代之
P(A) = 1/2、P(B) = 1/3、P(C) = 1/6

P(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之機率，重複出現的略去
E(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之期望次數

P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
P(A→C→B) = (1/2) * [(1/6)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/6
P(B→A→C) = (1/3) * [(1/2)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/4
P(B→C→A) = (1/3) * [(1/6)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/12
P(C→A→B) = (1/6) * [(1/2)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/10
P(C→B→A) = (1/6) * [(1/3)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/15

E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
E(A→C→B) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/6)] = 6
E(B→A→C) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/2)] = 17/2
E(B→C→A) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/6)] = 9/2
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5
E(C→B→A) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/3)] = 21/5

所求 = (1/3) * 9 + (1/6) * 6 + (1/4) * (17/2) + (1/12) * (9/2) + (1/10) * (26/5) + (1/15) * (21/5) = 73/10

JJM 發表於 2024-4-13 17:23

回覆 10# mathchen 的帖子

謝謝老師！

vln0106 發表於 2024-4-13 20:42

回覆 17# thepiano 的帖子

感謝老師們的回覆

Hawlee 發表於 2024-4-14 11:47

回覆 17# thepiano 的帖子

可以請問為甚麼機率跟期望值式這樣列式嗎?

查看完整版本: 113新竹女中