113新竹女中
腦汁炸乾了計算題那 38 分
九連環和 3D 立體賓果的問題，非常不確定有沒有記對。
如果有記得的老師，再請分享～
備註：九連環那題，本來就有說參考來源來自數學傳播第 38 卷第 3 期，因此我從裡面擷取一些文字，盡量還原為印象中的考題。
參考資料：[url=https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=38302]https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=38302[/url]
113.4.12版主補充
上傳官方版試題 8.
設數列\(a_k=k^3\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{3n-1}\frac{n^2}{a_k}=\)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615[/url]) 想請教填充 6 7 10
謝謝老師 7.
考慮集合\(\{\;1,2,3,\ldots,2024\}\;\)的子集\(S\)，其中集合\(S\)的元素個數為1000。若從滿足上述條件中的每個集合\(S\)裡挑選出最小的元素，則所有這些最小元素的算術平均數為[u] [/u]。
[解答]
巴斯卡定理 C2025取1001/C2024取1000=2025/1001 請問填充3、9
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3.定坐標回覆 3# vln0106 的帖子
第 6 題若\(S\)是滿足\(0<x\le 1\)、\(0<y\le 1\)且\(\displaystyle \left[log_2 \left(\frac{1}{x}\right)\right]\)與\(\displaystyle \left[log_3 \left(\frac{1}{y}\right)\right]\)均為奇數的坐標\((x,y)\)所組成的集合，則集合\(S\)所表示的圖形面積為[u] [/u]。(\(\left[x\right]\)表不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
2≦1/x＜4，1/4＜x≦1/2
8≦1/x＜16，1/16＜x≦1/8
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:
3≦1/y＜9，1/9＜x≦1/3
27≦1/y＜81，1/81＜x≦1/27
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:
所求 = [(1/2 - 1/4) + (1/8 - 1/16) + ...][(1/3 - 1/9) + (1/27 - 1/81) + ...] = (1/3)(1/4) = 1/12
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第 9 題設\(A(1,\sqrt{3}),B(1,-\sqrt{3})\)為平面上兩定點，動點\(P\)在線段ˋ\(\overline{AB}\)上。\(O\)為原點，且\(Q\)在射線\(\overline{OP}\)上，並滿足\(\overline{OP}\cdot \overline{OQ}=4\)。當動點\(P\)由\(A\)沿著線段\(\overline{AB}\)移動到\(B\)時，試求\(Q\)點軌跡圖形的路徑長為何？[u] [/u]
[解答]
O(0，0)、P(1，t)，-√3 ≦ t ≦ √3，Q(x，y)，x ≧ 1
OP^2 * OQ^2 = (t^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16
OP 和 OQ 斜率相同，可得 t = y/x
(y^2/x^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 16x^2 = 0
(x^2 + 4x + y^2)(x^2 - 4x + y^2) = 0
[(x + 2)^2 + y^2 - 4][(x - 2)^2 + y^2 - 4] = 0
(x + 2)^2 + y^2 = 4 (不合，因 x ≧ 1) or (x - 2)^2 + y^2 = 4
所求為以 O'(2，0) 為圓心，半徑為 2 的圓周長 扣掉 弧AB(120度) 的長 = 4π * (2/3) = (8/3)π
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請教老師，這邊分子是怎麼得到的？回覆 JJM 老師
7.考慮集合\(\{\;1,2,3,\ldots,2024\}\;\)的子集\(S\)，其中集合\(S\)的元素個數為1000。若從滿足上述條件中的每個集合\(S\)裡挑選出最小的元素，則所有這些最小元素的算術平均數為[u] [/u]。
[解答]
第七題分子的部分我是這樣算的，若有錯誤再請老師指教。 想詢問8的做法，謝謝老師
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第 8 題設數列\(a_k=k^3\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{3n-1}\frac{n^2}{a_k}=\)[u] [/u]。
[解答]
分子和分母同除以 n^3
(1/n){1 + 1/(1 + 1/n)^3 + 1/(1 + 2/n)^3 + …… + 1/[1 + (2n - 1)/n]^3}
所求 = 1/(1 + x)^3，從 0 積到 2 [quote]原帖由 [i]vln0106[/i] 於 2024-4-12 10:58 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25690&ptid=3829][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充 6 7 10
謝謝老師 [/quote]
10.
冰果飲料店推出集字活動，凡購買任何一杯飲品，皆能獲得一張集字卡，只要收集「中」、「獎」、「囉」三字，即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、出現「獎」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 、出現「囉」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{6}\)。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字，所需要購買飲品杯數的期望值為[u] [/u]杯。
[解答]
回覆 13# Ellipse 的帖子
請問老師這個公式由來 [quote]原帖由 [i]vln0106[/i] 於 2024-4-13 10:45 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25701&ptid=3829][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問老師這個公式由來 [/quote]
Google 搜尋: Coupon collector problem (彩卷收集問題)
回覆 15# Ellipse 的帖子
感謝老師回覆 3# vln0106 的帖子
第 10 題冰果飲料店推出集字活動，凡購買任何一杯飲品，皆能獲得一張集字卡，只要收集「中」、「獎」、「囉」三字，即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、出現「獎」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 、出現「囉」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{6}\)。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字，所需要購買飲品杯數的期望值為[u] [/u]杯。
[解答]
以 A、B、C 代之
P(A) = 1/2、P(B) = 1/3、P(C) = 1/6
P(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之機率，重複出現的略去
E(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之期望次數
P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
P(A→C→B) = (1/2) * [(1/6)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/6
P(B→A→C) = (1/3) * [(1/2)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/4
P(B→C→A) = (1/3) * [(1/6)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/12
P(C→A→B) = (1/6) * [(1/2)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/10
P(C→B→A) = (1/6) * [(1/3)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/15
E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
E(A→C→B) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/6)] = 6
E(B→A→C) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/2)] = 17/2
E(B→C→A) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/6)] = 9/2
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5
E(C→B→A) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/3)] = 21/5
所求 = (1/3) * 9 + (1/6) * 6 + (1/4) * (17/2) + (1/12) * (9/2) + (1/10) * (26/5) + (1/15) * (21/5) = 73/10
回覆 10# mathchen 的帖子
謝謝老師！回覆 17# thepiano 的帖子
感謝老師們的回覆回覆 17# thepiano 的帖子
可以請問為甚麼機率跟期望值式這樣列式嗎?頁:
[1]
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