Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 請教一題南一中高一月考題多項式

aliher327 發表於 2024-2-3 10:01

請教一題南一中高一月考題多項式

已知多項式\(f(x)\)為七次多項式，且滿足\(f(2^0)=0\)，\(f(2^1)=1\)，\(f(2^2)=2\)，\(f(2^3)=3\)，\(f(2^4)=4\)，\(f(2^5)=\)，\(f(2^6)=6\)，\(f(2^7)=7\)，求\(f(x)\)一次項係數。

請問除了解方程組以外是否有其他建議?

thepiano 發表於 2024-2-3 20:45

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f(2x) - f(x) - 1 = a(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8)(x - 16)(x - 32)(x - 64)
x = 0 代入可求出 a
所求即其一次項係數

aliher327 發表於 2024-2-4 07:47

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好高明的解法, 非常感謝您, PIANO老師

aliher327 發表於 2024-2-4 17:06

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答案是 127/64

tian 發表於 2024-11-13 16:34

請教一題多項式

請教一題多項式!!如附圖
謝謝各位前輩

耳東陳 發表於 2024-11-14 08:51

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請問為何x = 0 代入可求出 a，所求即其一次項係數？
這個部分看了很久沒有看懂

thepiano 發表於 2024-11-14 11:57

回覆 5# 耳東陳 的帖子

f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0
f(2x) - f(x) - 1 的一次項係數 = 2a_1 - a_1 = a_1 = f(x) 的一次項係數

f(2x) - f(x) - 1 = a(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8)(x - 16)(x - 32)(x - 64)
x = 0 代入可得
-1 = a(-1)(-2)(-4)(-8)(-16)(-32)(-64)
a = 1/(1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64)

f(2x) - f(x) - 1 = (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8)(x - 16)(x - 32)(x - 64)/(1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64)
f(2x) - f(x) - 1 的一次項係數 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 127/64

耳東陳 發表於 2024-11-14 16:30

謝謝您的回覆

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