一題排列
請問各位老師一題，將1、2、3、4、5、6六個數字按大、小、大、小、大、小的方式(614352)排列有幾種？
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[attach]6864[/attach]我只會土法鍊鋼[[i] 本帖最後由 iammark 於 2024-1-30 09:05 編輯 [/i]]
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令 \( a_{n} \) 為 \( 1\sim n \) 依大、小、大、小... 的方法數(由左至的第奇數個數，比相鄰的數大)注意到 \( 1\sim n \) 依小、大、小、大... 的方法數亦為 \( a_{n} \)
易知 \( a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=2 \)
以 \( n \) 的位置來分類方法，有以下
4XXX
XX4X
\( a_{4}=a_{3}+C_{2}^{3}a_{2}\cdot C_{1}^{1}a_{1}=5 \)
5XXXX
XX5XX
XXXX5
\( a_{5}=2a_{4}+C_{2}^{4}a_{2}\cdot C_{2}^{2}a_{2}=10+6=16 \)
6XXXXX
XX6XXX
XXXX6X
\( a_{6}=a_{5}+C_{2}^{5}a_{2}\cdot C_{3}^{3}a_{3}+C_{4}^{5}a_{4}\cdot C_{1}^{1}a_{1}=16+20+25=61 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2024-1-30 21:32 編輯 [/i]]
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此排列稱為交錯排列(Alternating permutation)數字小，可以慢慢討論，數字一大就無法用高中方法算…
這是有名的安德烈問題(André's problem)，大約1880年左右提出的。
原問題是小大小大…
答案是歐拉數列(Euler Number)，見OEIS: A000111
這個沒有公式，
但可以利用其遞迴式，解微分方程，得到指數生成函數為 sec(x)+tan(x)
是一個很漂亮的結果。
Stanley, 2010年,有寫了一篇Survey，得到它的漸近式為 \(2n!(\frac2\pi)^{n+1}\)。
可以搜尋上面這些關鍵字，應該會得到不少說明。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-2-1 21:41 編輯 [/i]]
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謝謝老師的回應回覆 3# tsusy 的帖子
謝謝老師精采的解法頁:
[1]