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不是井裡沒有水,而是我們挖的不夠深;
不是成功來的慢,而是我們放棄的太快。

iammark 發表於 2024-1-30 06:17

一題排列

請問各位老師一題,

將1、2、3、4、5、6六個數字按大、小、大、小、大、小的方式(614352)排列有幾種?

iammark 發表於 2024-1-30 06:23

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[attach]6864[/attach]我只會土法鍊鋼

[[i] 本帖最後由 iammark 於 2024-1-30 09:05 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2024-1-30 21:31

回覆 1# iammark 的帖子

令 \( a_{n} \) 為 \( 1\sim n \) 依大、小、大、小... 的方法數(由左至的第奇數個數,比相鄰的數大)

注意到 \( 1\sim n \) 依小、大、小、大... 的方法數亦為 \( a_{n} \)

易知 \( a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=2 \)

以 \( n \) 的位置來分類方法,有以下

4XXX

XX4X

\( a_{4}=a_{3}+C_{2}^{3}a_{2}\cdot C_{1}^{1}a_{1}=5 \)

5XXXX

XX5XX

XXXX5

\( a_{5}=2a_{4}+C_{2}^{4}a_{2}\cdot C_{2}^{2}a_{2}=10+6=16 \)

6XXXXX

XX6XXX

XXXX6X

\( a_{6}=a_{5}+C_{2}^{5}a_{2}\cdot C_{3}^{3}a_{3}+C_{4}^{5}a_{4}\cdot C_{1}^{1}a_{1}=16+20+25=61 \)

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2024-1-30 21:32 編輯 [/i]]

DavidGuo 發表於 2024-2-1 21:34

回覆 1# iammark 的帖子

此排列稱為交錯排列(Alternating permutation)
數字小,可以慢慢討論,數字一大就無法用高中方法算…

這是有名的安德烈問題(André's problem),大約1880年左右提出的。
原問題是小大小大…
答案是歐拉數列(Euler Number),見OEIS: A000111

這個沒有公式,
但可以利用其遞迴式,解微分方程,得到指數生成函數為 sec(x)+tan(x)
是一個很漂亮的結果。

Stanley, 2010年,有寫了一篇Survey,得到它的漸近式為 \(2n!(\frac2\pi)^{n+1}\)。

可以搜尋上面這些關鍵字,應該會得到不少說明。

[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-2-1 21:41 編輯 [/i]]

iammark 發表於 2024-2-9 20:32

回覆 4# DavidGuo 的帖子

謝謝老師的回應

iammark 發表於 2024-2-9 20:33

回覆 3# tsusy 的帖子

謝謝老師精采的解法

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