113基隆女中
基女試題 一、填充題4.
平面上，設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，其中\(\angle C\)為直角且\(\overline{AC}=1\)，在\(\overline{AB}\)上取\(n\)等分點\(P_0=A,P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n=B\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \vec{CP_{k-1}\cdot \vec{CP_k}}=\)[u] [/u]。
已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。
(105全國聯招，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2498&page=1#pid15288[/url])
9.
設\(z\)為複數，且\(z\)為方程式\(x^5+x^4+1=0\)的根，則滿足\(|\;z|\;=1\)的所有根之和為[u] [/u]。
112武陵高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3731&page=1#pid24860[/url]
12.
設\([\;x ]\;\)表示不超過\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2^1}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2024}}{3}\right]\)的末兩位數為[u] [/u]。
連結有解答，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268[/url]
證明題
1.
設平面四邊形ABCD的四邊長\(a=AB,b=BC,c=CD,d=DA\)，
(1)試求此四邊形面積的最大值；
(2)若\(a,b,c,d\)為四個連續的正整數。證明：四邊形\(ABCD\)面積的最大值不為整數。
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434[/url] 想請教版上老師
填充7、11
謝謝!
回覆 3# lisa2lisa02 的帖子
7. 作法偏硬幹假設\(\displaystyle \vec a =(2,0,0), \vec b =(\displaystyle \frac{3}{2},\frac{3}{2}\sqrt{3},0), \vec c =(2,\frac{2}{3}\sqrt{3},\frac{4}{3}\sqrt{6})\)
令\(\displaystyle \vec u=(p,q,r), \vec v= (x,y,z)\)
因為\(\displaystyle \vec u \perp (\vec u +\vec a -\vec b) \Rightarrow (p,q,r) \cdot (p+\frac{1}{2},q-\frac{3}{2}\sqrt{3},r)=0\)
同理\(\displaystyle \vec v \perp (\vec v +\vec a-\vec c) \Rightarrow (x,y,z) \cdot (x,y-\frac{2}{3}\sqrt{3},z-\frac{4}{3}\sqrt{6})=0\)
故\(\displaystyle (p,q,r)\)的軌跡為球體 : \(\displaystyle (p+\frac{1}{4})^2+(q-\frac{3}{4}\sqrt{3})^2+r^2=\frac{7}{4}\)
\(\displaystyle (x,y,z)\)的軌跡為球體 : \(\displaystyle x^2+(y-\frac{1}{3}\sqrt{3})^2+(z-\frac{2}{3}\sqrt{6})^2=3\)
所求為兩球體的動點之距離最大值
故答案為球心距離加上兩個半徑為\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{7}+\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{13}\)
回覆 3# lisa2lisa02 的帖子
填充11.解答如附件。
回覆 4# satsuki931000 的帖子
請問老師的三個向量假設是怎麼出現靈感的？好神奇！ 第七題 謝謝老師們的回覆! 想請教老師們填充3與計算3謝謝
回覆 9# JJM 的帖子
回答你的第一個向量假設的問題把ab兩向量先放在xy平面上去假設，之後很簡單就可以算出c向量
計算3
假設\(\displaystyle P(a,b), L=mx-y=0\)
\(P\)對\(L\)的投影點為\(\displaystyle P'(\frac{a+bm}{m^2+1},\frac{bm^2+am}{m^2+1})\)
\(\displaystyle \overline{PP'}\)的中點為\(\displaystyle M(\frac{a(m^2+2)+bm}{2m^2+2},\frac{am+b(2m^2+1)}{2m^2+2})\)
題意為矩陣\(T\)將\(P\)轉換到\(M\)
可以得出\(\displaystyle T=
\begin{bmatrix}
\displaystyle \frac{m^2+2}{2m^2+2} & \frac{m}{2m^2+2}\\
\displaystyle \frac{m}{2m^2+2} & \frac{2m^2+1}{2m^2+2}
\end{bmatrix}\)
想順帶一問
文字敘述，符號皆不變，如果題目改成\(T\)是一個線性變換矩陣，將\(P\)換成\(P'\)，使得\(d(P,L)=2d(P',L)\)
是否應該追加一個答案
\(\displaystyle T=
\begin{bmatrix}
\displaystyle \frac{1}{m^2+1} & \frac{m}{m^2+1}\\
\displaystyle \frac{m}{m^2+1} & \frac{m^2}{m^2+1}
\end{bmatrix}\)
最一開始想到的是可能有兩種情形，但題目要的「步驟順序」是第一種答案
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2024-1-9 09:29 編輯 [/i]]
回覆 9# JJM 的帖子
[attach]6839[/attach] [size=4]我有整理的詳解，給大家參考，寫完啦~。[/size][url=https://yinyumath.blogspot.com/]https://yinyumath.blogspot.com/[/url]
[size=4]這2天，我跟幾位老師開一場讀書會討論完這份考題，如果有需要看講解的老師可以參考一下。[url=https://youtube.com/live/5bc2Ot885J0]https://youtube.com/live/5bc2Ot885J0[/url][/size]
[[i] 本帖最後由 yymath 於 2024-1-15 14:00 編輯 [/i]]
回覆 10# satsuki931000 的帖子
謝謝老師解惑！回覆 11# weiye 的帖子
謝謝瑋岳老師！ 想問計算第2題第一小題目前只有這種想法
先假設動點(2t-13,t) 然後MN是根軸，用根軸公式解出4(x-13)=t(y-8)，因為t不為0，所以恆過(13,8)
第二小題就除了先假設兩動點，暴力硬解外接圓外就沒其他想法了 也整理了解答 不確定有沒有寫錯
[url]https://drive.google.com/file/d/1GpjNCPtB_Q4au3DpK3eJfS5lcLuoifgS/view?usp=drive_link[/url]
填充7寫了很久
計算2寫不出來 謝謝thepiano老師
在處理填充11時 想到100桃園縣新進教師高中聯招 計算1
[url]https://math.pro/db/thread-1149-1-8.html[/url]
用類似的手法處理
[[i] 本帖最後由 ruee29 於 2024-1-11 10:53 編輯 [/i]]
回覆 15# g112 的帖子
計算第 2 題(1)
A(2t - 13，t)、M(x_1，y_1)、N(x_2，y_2)
過拋物線 y^2 = 8x 上一點 M 的切線方程式為 y_1y = 4(x + x_1)
此切線和直線 x - 2y + 13 = 0 交於 A，可得 y_1t = 4(2t - 13 + x_1)
t(y_1 - 8) = 4(x_1 - 13)
同理 t(y_2 - 8) = 4(x_2 - 13)
直線 MN 的方程式為 t(y - 8) = 4(x - 13)，因 t ≠ 0，故恆過定點 (13，8)
(2)
拋物線焦點 F(2，0)
直線 AM：y_1y = 4(x + x_1) 與 y 軸交點 B(0，4x_1/y_1)
直線 BA 斜率 * 直線 BF 斜率 = (4/y_1) * (-2x_1/y_1) = -1
直線 BA 和直線 BF 垂直
同理，直線 CA 和直線 CF 垂直
A、B、C、F 四點共圓
△ABC 的外接圓恆過 F(2，0)
外接圓半徑最小時，直徑 AF 也最小
所求半徑之最小值 = F 到直線 x - 2y + 13 = 0 的距離之半 = (3/2)√5
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2024-1-10 13:49 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2024-1-10 13:45 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=25476&ptid=3803][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 2 題
(1)
A(2t - 13，t)、M(x_1，y_1)、N(x_2，y_2)
過拋物線 y^2 = 8x 上一點 M 的切線方程式為 y_1y = 4(x + x_1)
此切線和直線 x - 2y + 13 = 0 交於 A，可得 y_1t = 4(2t - 13 + x_1)
t(y_1 - 8) = 4(x_1 - 13) ... [/quote]
感謝鋼琴老師
順便想問一下 對任意的二次曲線ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
從曲線外一點(x0,y0)作兩切線， 其切點連線的方程式是否為
ax0x+b(x0x+y0y)/2+ cy0y+d(x0+x)/2+e(y0+y)/2+f=0
一般書上只有寫到圓是這樣，但我不確定是否對其他二次曲線也對 此次學校提供的檔案，因為放上答案，導致題目排版跑掉，不是考試當下的樣子。
我將其調整一下，方便大家練習。
另外，為了讓題目閱讀舒適，在可以編修的條件下做一些小修改。
1. 填充4 向量符號跑掉，調回原本位置。
2. 計算3 實數符號出現兩次，拿掉一個。
3. 題目第二列以後縮排盡量與第一排對齊。
4. 填充9, 10, 12, 計算3，題號字體改為 Times New Roman。
回覆 18# g112 的帖子
是的，您可參考李吉彬老師的碩論[url]https://ir.nctu.edu.tw/bitstream/11536/80217/1/350101.pdf[/url]
第二項應是 b(x_0y + y_0x)/2
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