112年大學分科測驗數甲詳解（含部分一題多解）俞克斌老師
個人淺見，獨力完成，無團隊協助若有疏漏，敬請指正，謝謝
112年大學分科測驗數甲詳解-續
因檔案大小限制分兩次上傳
第3題
這題的答案是對，但詳解沒有「詳細」。其實這個寫成黎曼和後，缺了一項，所以應該要再加一項減一項(看是要補第0項或第n項都可以，一個左和一個右和)
然後最後的再說明減的那一項取極限後是0。
若視為左和，
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times0^2}+\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}-\sqrt{4n^2+9\times0^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{6n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)
若想視為右和，也可以
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}+\sqrt{4n^2+9\times n^2}-\sqrt{4n^2+9\times n^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{13}n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)
要嚴僅的話，還要說明limit拆兩個相減，必須要極限存在。
事實上，中間拿掉有限項，收斂值不變，但高中應該是沒講這個。
我的感覺是出題老師少寫了一項，只是還好答案沒變。
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-13 17:27 編輯 [/i]]
第7題
選項(4)其實是在提醒學生對稱，所以選項(5)
移到10跟移到2機率一樣，在算期望值時，平均就是6。
移到8跟移到4機率一樣，在算期望值時，平均就是6。
移到6算期望值時，本來就是6。
移到12時，會多出6，所以只要算多出多少即可。
因此8次回到12的機率\(C^8_4/2^8\)
答案為\(E(X_8)=6+6P(X_8=12)=6+6\times C^8_4/2^8=6+\frac{420}{256}\)
明顯後面的分數比1大，所以\(E(X_8)>7\)
這題目出的不好，計算量太大，若要減少計算，其實改成「\(E(X_8)>6\)」或「\(E(X_9)=6\)」，這樣就可以不用算，一看就知道答案。
可以推廣成「對於所有的\(n\)，算\(E(X_{n})\)」
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-15 09:22 編輯 [/i]]
第8題
這題其實在引導學生求出複數方程式\(z^3=4i\bar{z}\)的所有解，當然，題目不會直接這樣寫。(2)提示說此方程式都在半徑2的圓上
(3)提示說只要有一解，則轉90度，就還會是解。光這點，就知道解的數目是4的倍數，所以(5)是錯的。
(4)就代一下角度\(\pi/6\)即可知不合。
第11題
分成兩類(1) 1~9各1張，選四張排出比6400大的有幾個？\(1\times5\times7\times6+3\times8\times7\times6=1218\)
(2) 12345679選兩張，與兩張8來排列，有幾個？\(C^4_2\times8\times7=336\)
兩個加起來，共\(1554\)
[[i] 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-13 14:45 編輯 [/i]] 非選17題另解：
1）根據15、16題可得原橢圓Γ之方程式 x^2/4 + y^2/5=1
2）由新橢圓Γ' 可算出P' 座標 (3 √2, 2)
3）以O為圓心，OP' 為半徑，另寫圓O之方程式 x^2 + y^2 = 9/2
4）原橢圓Γ跟圓O解聯立，答案取第四象限之交點
想法來源：
91學年度指考數甲參考試卷多選題4之選項(4)
頁:
[1]