112嘉義女中
微積分考蠻多的... 4.設\(A=\left[\matrix{2&4\cr 1&-1}\right]\)，二階方陣\(X\)、\(Y\)滿足\(X+Y=I\)且\(XY=O\)，其中\(I=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)、\(O=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)。若存在實數\(a>b\)使得\(A=aX+bY\)，則\(a^b\)之值為[u] [/u]。
[速解]
計算矩陣\(A\)特徵值，\(\left|\ \matrix{2-\lambda&4 \cr 1&-1-\lambda} \right|=0\)，\(\lambda=3,-2\)
因為\(a>b\)，取\(a=3,b=-2\)，\(\displaystyle a^b=\frac{1}{9}\)
原理請參閱[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262[/url]
7.
設\(n\)為正奇數，黑箱中有\(n\)枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為\(\displaystyle \frac{4}{7}\)，則正奇數\(n=\)[u] [/u]。
有置於黑箱中的七枚硬幣，其中一枚兩面皆是人頭，一枚兩面皆是字，其餘五枚一面是人頭一面是字，將手伸入箱中握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，試問另一面也是人頭的機率是多少？
(1)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (2)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (3)\(\displaystyle \frac{2}{7}\) (4)\(\displaystyle \frac{1}{6}\) (5)\(\displaystyle \frac{1}{7}\)
97研究用試卷，[url]https://math.pro/db/thread-3767-1-1.html[/url]
16.
已知一四邊形的紙張\(ABCD\)，其中\(\angle A=\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AD}=10\)，\(\overline{CD}=5\)。沿著\(\overline{BD}\)摺起平面\(ABD\)，使得點\(A\)在平面\(BCD\)的投影點\(P\)落在\(\overline{BC}\)上，若摺起後四面體\(ABCD\)的體積為20，則摺起後點\(B\)到平面\(ACD\)的距離為[u] [/u]。
二、計算證明題
1.
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式為\(\cases{a_1=1\cr 3a_{n+1}=\pi \cdot sin(a_n)，n\in N}\)，
(1)請說明\(\langle\;a_n\rangle\;\)是否為有界數列？
(2)請判斷\(\langle\;a_n\rangle\;\)是否為遞增數列或遞減數列？請證明之。
2.
在坐標平面上，設點\(O\)為原點，已知橢圓\(\Gamma\)：\(
\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a>b>0\)。若\(P,Q\)為橢圓\(\Gamma\)上任意兩點，試求\(\Delta OPQ\)面積之最大值。 請教第3、7題
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3.設雙曲線\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{240}=1\)的焦點為\(F\)、\(F'\)，中心為\(O\)，若\(P\)為雙曲線\(\Gamma\)上的一動點，則滿足\(\angle FPF'\)為鈍角且\(\overline{OP}\)長度為正整數的動點\(P\)共有[u] [/u]種可能性。
[解答]
根據鈍角三角形的條件
可以得知\(\left\{
\begin{array}{LL}
x^2+14x-480<0 \\
x>10
\end{array}
\right.
\)
即\(\displaystyle 10<x<16\)
再根據中線定理求出\(\displaystyle \overline{OP}^2=(x+7)^2-240\)
由\(\displaystyle 10<x<16 \)求出 \(\displaystyle 49<\overline{OP}^2<289 \Rightarrow \overline{OP}=7,8,\cdots 16\)
共9個點滿足條件
四個象限共36個點 7.
設\(n\)為正奇數，黑箱中有\(n\)枚硬幣，其中1枚兩面都是人頭(Head)，1枚兩面都是字(Tail)，其餘的硬幣都是一面人頭和一面字。已知每個硬幣被取出的機會均等，每個硬幣兩面放在手心後朝上的機會也是均等的；將手伸入箱中握住三枚硬幣，取出後將手打開，在此三枚硬幣朝上的面是2個人頭和1個字的條件下，若此三硬幣的另一面是1個人頭和2 個字的機率為\(\displaystyle \frac{4}{7}\)，則正奇數\(n=\)[u] [/u]。
[解答]
以下ABC分別表示 雙人頭，雙文字，一人頭一文字
2人頭1文字: 有ACB，ACC，CCB，CCC四種情形
機率:
ACB:\(\displaystyle \frac{3}{n(n-1)}\)
ACC:\(\displaystyle \frac{3(n-3)}{2n(n-1)}\)
CCB:\(\displaystyle \frac{3(n-3)}{4n(n-1)}\)
CCC:\(\displaystyle \frac{3(n-3)(n-4)}{8n(n-1)}\)
滿足題意的情況為ACB，CCC這兩種
所以列式可得
\(\displaystyle \frac{3+\frac{3}{8}(n-3)(n-4)}{3+\frac{9}{4}(n-3)+\frac{3}{8}(n-3)(n-4)}=\frac{4}{7}\)
解出\(n=11\) ( \(n=4\)不合) 謝謝老師解惑，再請教第13題
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填充13.已知三角形\(ABC\)的重心為點\(G\)，且\(\overline{GC}=7\)，\(\overline{GC}=3\)，若點\(G\)至直線\(BC\)的距離為2，則\(\overline{GA}\)之長為[u] [/u]。
[解答]
令 \( D \) 為 \( G \) 在直線 \( BC \) 上的投影點
由畢氏定理，可得 \( \overline{BD} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \), \( \overline{CD} = \sqrt{5} \)
故 \( \overline{BC} = 3\sqrt{5} \pm \sqrt{5} \)
延長 \( AG \) 至 \( AA' \)，並使 \( G \) 為 \( \overline{AA'} \) 中點，可得 \( BGCA' \) 為平行四邊形。
令 \( \theta = \angle BGC \)
(1) 若 \( \overline{BC} = 4\sqrt{5} \)，
\( \Delta BGC \) 中，由餘弦定理可得 \( \cos\theta=\frac{9+49-80}{42}=\frac{-22}{42} \)
\( \Delta GCA' \) 中，由餘弦定理可得 \( \overline{GA'}^2 = 9 + 49 -42(-\cos\theta) = 36 \)
\( \Rightarrow \overline{GA'} = 6 \)
(2) 若 \( \overline{BC} = 2\sqrt{5} \)，
\( \Delta BGC \) 中，由餘弦定理可得 \( \cos\theta=\frac{9+49-20}{42}=\frac{38}{42} \)
\( \Delta GCA' \) 中，由餘弦定理可得 \( \overline{GA'}^2 = 9 + 49 -42(-\cos\theta) = 96 \)
\( \Rightarrow \overline{GA'} = 4 \sqrt{6} \)
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謝謝老師解惑第13題
參考參考[attach]6793[/attach] 請教填充9,12,14，謝謝
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9.設\(f(x)\)為三次多項式函數，其圖形通過\((1,2)\)、\((5,8)\)、\((9,11)\)，則\(\displaystyle \int_1^9f(x)dx\)之值為[u] [/u]。
12.
設\(a\)為實數，已知兩函數\(\displaystyle f(x)=4x^2-3ax+4\int_0^1 (t\cdot f(t))dt\)與\(\displaystyle g(x)=x^2+4x+a-\int_0^x ((t+1)\cdot g'(t))dt\)。若\(f(x)-x\cdot g(x)=0\)有兩相異實數根\(\alpha\)與\(\beta\)，其中\(\alpha<\beta\)，則\(\displaystyle \frac{1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^{\beta}(3x^2-2ax+a^2)dx\)之最小值為[u] [/u]。
第 9、12 題
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=33774#p33774[/url]
第 14 題
已知梯形\(ABCD\)中，\(\overline{AD}=5\)，\(\overline{BC}=10\)，且\(\overline{AD}//\overline{BC}\)，\(\angle DC=120^{\circ}\)。若梯形\(ABCD\)有一個內切圓(與四個邊都相切的圓)，則梯\(ABCD\)的面積為[u] [/u]。
[解答]
內切圓圓 O 和 AD、BC 分別切於 E、F
令 DE = x
OE = OF = √3x，CF = 3x
AE = 5 - x，BF = 10 - 3x
利用 △AEO 和 △OFB 相似，可求出 x = 2
梯形 ABCD 的高 EF = 4√3，面積為 30√3 想請教第1、5、8題，謝謝各位老師們。
回覆 12# aizin 的帖子
第 1 題神童如風參加心算比賽的電視節目錄影，裁判亮出題目，觀眾只理解到題目是求\(\root 15 \of{ 15,□□□,□□□,□□□,□□□,□□□}\)這個開根號的數時(方框代表觀眾來不及記憶的數字)，說時遲，那時快，如風只花了15秒就算出這個複雜的根式是一個正整數\(k\)，並經裁判確認正確。請問正整數\(k=\)[u] [/u]。
[解答]
根號裡是 17 位數
10^15 是 16 位數
11^15 也是 16 位數
15log12 = 16.1865
12^15 是 17 位數，首位是 1
第 5 題
小美每天早上起床後必先完成洗臉、刷牙、穿衣服、穿裙子、戴隱形眼鏡和吃早餐等六件事情，其中洗臉後才能戴隱形眼鏡，刷牙和洗臉後才會吃早餐，例如：洗臉→穿衣服→穿裙子→刷牙→戴隱形眼鏡→吃早餐。請問小美完成這六件事情，依前後順序的不同，共有[u] [/u]種方法。
[解答]
先排洗臉、戴眼鏡、刷牙、吃早餐
有以下 5 種情形
洗臉、刷牙、吃早餐、戴眼鏡
刷牙、洗臉、吃早餐、戴眼鏡
洗臉、戴眼鏡、刷牙、吃早餐
洗臉、刷牙、戴眼鏡、吃早餐
刷牙、洗臉、戴眼鏡、吃早餐
剩下兩個插空隙
所求 = 5 * H(5，2) * 2
第 8 題
設\(A(\alpha)\)、\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\)為複數平面上不共線的三點，都不在實軸上，\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)皆不為零，若\(\overline{AC}=4\)且\(\alpha^2+4\beta^2+5\gamma^2=2\gamma(\alpha+4\beta)=\)[u] [/u]。
[解答]
α^2 + 4β^2 + 5γ^2 = 2γ(α + 4β)
(α - γ)^2 = -4(β - γ)^2
α - γ = ±2i(β - γ)
AC 和 BC 垂直
AC = |α - γ| = |±2i(β - γ)| = 2|β - γ| = 2BC
BC = 2
AB = 2√5
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